cosp

. MH — MK ces sin o sinûr

sm =z : — i-:

2 smp

par suite,

,^ /cos*5' , , sin'q . , \ I = cos*0 ( — - cos*ç -4- . , sm*q, ) .

\cos^p ' sm'/ï ^/

Or il est facile de voir sur la figure qu'on a

j? m cos ô sin ç , j^r= cosôcosy;

par conséquent

sin'^ cos'^

-^■TIITt^ ='

sin^p CCS'/?

Si le rayon de la sphère estR, la projection de la courbe cherchée sur le plan x/ a pour équation

sin'p cos'p

la courbe résulte donc de l'intersection de la sphère avec im cylindre.

En combinant la dernière équation avec celle de la sphère,

(l) or' -+. ^'^ H- z' = Rî,

SOLLTIOKS. 211

on CD déduit

cos' ^ x' 4- ( I -- t-ing*/> eos*^ q ) j* -h 3* ^= R^ cos*/^ ou bien

en posant

cos»7 , I — t;ingVcos»</ 1 * ::^= :;r: » w = ;-; ;: ^ /?

R'cos'/? R'^cos'/? R'cos*/?

Si Ton prend x pour variable indépendante, on tire des équations (i) et (2)

De ces résultats, on déduit pour l'équation du plan normal

jr y z

pour celle du plan osculateur

et jMJur les rayons le courbure

lia CALCUL DIFFEllEWTIEL

^ (/»— ;n')(m'— /g')(/i'~-/»)IP '' "" 3xr3(/'R'— I ) ( m^R^ — I ) ( /î»R2 — I ) '

où Ton a fait

La courbe dont on vient de s'occuper est V ellipse sphérique. Pour étudier les courbes tracées comme celle-ci sur la sphère, il est avantageux d'employer un système de coordonnées pris sur la sphère même. Consulter à ce sujet le Journal de Crelle, t. VI et XIII -, les Transactions philosophiques, t. XII; les Nouvelles Annales de Mathématiques, t. VI et VU, et divers travaux de MM. Chasies, Gudermann, Borgne t, etc.