Des relations données par Ténoncé
^' -4- j^ H-- z' = R', arc sin — = /i arc tang '- »
on tire, en posant p^ = R' — 2* = R* cos' n 0,
(i) xdx -^ ydf + zdz = o^ nrdr — nxdy -\-pdz-=.o^
et par suite
ilx dy dz ds
Ces équations déterminent les cosinus directeurs a^ h^c de la tangente à la courbe, et aussi Téquation du plan normal qui peut s'écrire
(/î tang/iôcos0 -h sinô)X -t- (/î tang/iôsinô — cosô)Y = /iZ.
Si Ton prend z pour variable indépendante, les équations ( I ) deviennent
xx' -^xy -^ s = o, nyx^ — ny' x -i- p = o,
s )LUTIONS. 2l3
et Ton en déduit, en faisant pour abréger ylî* /i' •+- ^* = Rj;, nî^p^x" = npjrz — R*c'ar, «'/>*/" = — np.rz — R'»'^^',
Ces relitions donnent les cosinus directeurs a, 6, y de l'axe du plan osculateur, et, pour Téquation de ce plan,
n [nxz -h R^i^^ sine)X -h nnrz — R^*cos0)Y
On tire des mêmes relations, en exprimant z en fonction de f^,
et comme on a d*aulrepart, d'après les relations (2),
I np
il en résulte
Pour calculer - = -5 observons qu'on a d'abord
p ay ^
de «'
puis, si Ton représente le dénominateur de p' par H',
Ou déduit de là
r IV
p rtcosnQ[(j — /î2)p'-|- 3/i'(/22-f- i)]*'*' par suite,
__R»(/ï'4- cos'«ô)=
ncosnQ (i — /z') cos'/iÔ -i- 2w'(/2*H- 2)
2i4 CALCUL d:fférentikl.
où II représente l'expression
(i — /i^)cos*nQ — n^[n^— 4) cos'/î^ H-/i*(/i*+ 4).
Sî 71 = 1, la courbe est TintcTsection de la sphère donnée et du cylindre dont l'équation est x*-h j^*= ax'^ on la rencontre dans le problème célèbre de Viviani (n® 510). Pour ce cas particulier, l'équation du plan normal est
X sin 1 6 — Y ces iO =zZ cos 9,
celle du plan osculateur
Xsin0(2 cos'Ô -h i) — 2Ycos^ô -f- 2Z = sin9(2 -hcos'OjR,
et l'on a, pour les rayons de courbure,
, x>, (ij^cos^)^ ^ ^ 5-4-3cos'9 ^ 5-4-3cos26 6cosô
Pour n = -T9 la courbe est l'intersection de la sphère
avec le cylindre doi:t la génératrice est parallèle à l'axe
des z et dont la base est la courbe représentée parl'équa-
'tion
^x^ 4- j-* :=r R cos . •
Cette interréciion a é:é étudiée par Pappus (n° 510).
297. En général, la condition pour qu'une courbe, tracée sur la surface dont l'équation est Y[x^y^z) = o, ait son plan osculateur normal à la surface, s'exprime par les relations
L'équation de la sui-face de révolution pouvant être mise sous la forme
on en déduit
dy dx
(2) x—^ J-— =:const,
^ ' ds as
D'ailleurs, cp est le complément de Tangle que fait la tangente en m avec la tangente du parallèle, et comme les cosinus directeurs de cette dernière sont respectivement
— -, 9 o, il en résulte que le premier membre de
l'équation (2) est égal à rsincf.
Les courbes jouissant de la propriété définie par les relations (1) sont dites les courbes géodésiques des surfaces sur lesquelles elles sont tracées. En particulier, l'équation rsin(5)== const. est l'équation géodésîque des surfaces de révolution.
298. i°et2°Soient j:,j, z les coordonnées d'un point M de la courbe C qu'on peut appeler la courbe directrice; /, m, n les cosinus directeurs de la génératrice qui passe en M. Pour un point voisin de la courbe, les quantités analogues seront jc -+- Aj:, y -^- Aj, z -+- A^r, l-\-^l-, rn-h A/n, n 4- A/i. Les équations du n° 281 donnent immédiatement, pour les cosinus directeurs de la plus courte distance de deux génératrices dont l'angle est t^,
smt^ smi^ smp
et pour la plus courte distance elle-même,
^x{màn — TîAm) H- Aj{/iA/ — làn) -f- ùkz{l^m — mM)
Les limites cherchées sont alors
mdn — ndm ndl — Idn Idm — mdl
à dx(mdn — ndm) -t- €lf (ndl — Idn) h- dz{ldm — mdl)
2l6 CÀ XUL DIFFERENTIEL.
OÙ
v=zi^(U}-\- dm} -f- r//2*.
3° Soit h la distance du point M au point cherché Mi dont les coordonnées sont Xi,j^, , «i^ on a
( I ) X, — .r = A/, y^ — y '=' hm^ z, — z-=. hn,
et par suite [n® 273, éq. (lo)]
dxdl + dydm H- é/^^/i
Le point Mi que cette équation détermine sur la génétrice G a été nommé point central par Ghasles, et le lieu de tous les points centraux est dit la ligne de striction de la surface réglée. Au point central se rattachent une droite et*un plan. La droite est celle qui occupe la position limite de la plus courte distance entre G et la génératrice infiniment voisine, et Ton pourrait, pour abréger, l'appeler droite centrale. Le plan, que Bour a nommé plan central, est celui qui contient cette droite et la génératrice, et dont l'équation est par conséquent
ou, ce qui revient au même à cause des équations (i),
Si /i = o, la courbe C est elle-même la courbe de striction, et Ton voit que le plan central contient la tangente à cette ligne ^ ce plan est donc tangent à la surface réglée en chacun des points de la ligne de striction. Observons que la droite centrale ne se confond pas généralement, comme le pensait Lacroix [Cale, différ, etintég., t. III, p. 668), avec la tangente à la ligne de striction. Cela ne peut avoir lieu, en elFet, que lorsque cette tangente est perpendiculaire à la génératrice, laquelle est nécessairement perpendiculaire à la droite centrale.
