on pose -^ =za. --=: b. — = c. i.1 qm on de

*■ cts cls ds ^

veloppe suivant la série de Taylor toutes les différences ^ qui entrent dans l'expression de J (n** 298), Tare s de la courbe directrice étant pris pour variable indépendante et A5 étant désigné par ;, on a

A/ = /'gH-r- H- r -H ,

et d'autres formules analogues pour A/, A 2, A/w, A//.

Pour trouver ce que devient alors 5, il suffit, à cause de la symétrie des calculs, de considérer Texpression

qui prend la forme

, / I is 9.^ d\a(mn' — nm!)\

2 as

par suite,

smV

2 7Zr"^"V'

ou

P = a{mn' ^ nm')^ b{nl'--ln') -t- c{lm' — ml').

dP Si cette quantité est nulle identiquement , — Test aussi,

ce qui démontre le théorème énoncé.

303- En égalant à zéro la quantité P du numéro précédent, on a Téquation

(A) d.r[mdn — ndm) -\-df[ndl — Idn) -\-dz[ldm — mdl)z= o.

Elle exprime que, pour toute surface réglée qui y satisfait, la direction définie par les binômes

mdn — ndm^ ndl — Idn^ Idm — mdl^

déjà perpendiculaire à la génératrice. Test aussi à la courbe directrice au point M où cette courbe est rencontrée par la génératrice. C'est donc aussi la direction de la normale en M à la surface 5 et comme elle ne diffère pas de la direction limite de la plus courte distance de la génératrice considérée à la génératrice infiniment voisine, elle ne dépend nullement de la courbe directrice et demeure la même tout le long de la génératrice. On peut d'ailleurs reconnaître facilement que cette direction est perpendiculaire à toute courbe tracée sur la surface au point |Ejt(f, rî, Ç) où cette