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courbe rencontre la génératrice. On a en effet, en posant
« Ç — jc=:R/, n — j = R/w, Ç — z = R/î,
et par suite,
€iiz=dc -h Rcil 4- /rfR, dn -h dx -^ Vidm + mdK^
d};-\- dz-h Kdn -+- ndRy
d'où Ton tire
d^(mdn — ndm) ■-{- dn[ndl — Icln) -\-dT^{ldm — mdl) = o.
L'équation (A) caractérise les surfaces dév^eloppables et les définit analytiquement.
soi. Prenons un point a (5, yj, ^) sur la génératrice qui passe en M, et désignons par R la distance /xM. On a
d^-'da: = Kdl -h IdK, dm — djr z=. "Kdm-^- mdR, r/Ç — dz = Kdn -h nrlKy
et il s'agit de prouver qu'on peut déterminer le point fji de telle sorte que les quantités rf^, rf>}, d^ soient proportionnelles à /, m, 72. Or la direction /, m, n est perpendiculaire à celle de la plus courte distance, et aussi à l'axe du
plan central (n** 298), dont les cosinus directeurs sont — »
— » —; il faut donc qu'on ait
d{{mdn — ndm) -J- dn{ndl — Idn) -+- d^{ldm — mdl) =z o
et
il^dl H- dtidm •+■ d^dn ■=. o.
On sait que la première équation est satisfaite (n^ 303)) et la seconde le sera également si l'on pose
dxdl -4- dydm 4- dzdn
dl^ -h dm" -f- du^
Ce résultat démontre que les génératrices de la surface sont les tangentes de la ligne de striction (n« 299), qui prend le nom à' arête de rebroussement quand la surface réglée est développable.
La réciproque du théorème se voit immédiatement.
305. Si Ton prend l'arête de rebroussement pour courbe Ji/ectr/ce de la surface développable (n^ 304), les cosînus/, /?/, n deviennent respectivement égaux h a^b^ c (p. 191). Or l'axe du plan osculateur de l'arête de rebroussement est perpendiculaire à la direction (a, fc, c) et à la direction (da, db^ de)] la noî^maie à la surface Test également, puisqu'on a la relation
tU [mdn — n dm) -f- (lx[ndl — Idn) 4- dzl^ldm -h mdl) = o,
et l'identité dl(mdn — ndm) -4- dm[ndl — Idn) -f- dn[ldm — mdl) = o;
le théorème est donc démontré.
