La diûérentielle, étant mise sous la forme

renferme seulement la variable x^ et sa différentielle ; il suffit donc, pour obtenir une expression rationnelle, de poser

i-+-xn' ,^,2.

d'où Ton déduit

S = arc tang

En opérant comme on vient de le faire sui' l'expression

dx

[ i 4- ^c'/») L( I + xV )'' — a:» J

on trouve

S = arc tang

(l + xV)[{l-+-x'/')'' — x»J

i|.19. On abaisse évidemment au second degré rirrationnelle du dénominateur en faisant ax' — i = j*, et la différentielle qu'on obtient ainsi s'intègre comme celle du n° 417 dans laquelle elle est comprise. On est donc conduit à égaler tout d'abord l'expression

au carré d'une nouvelle variable qu'il sera commode, pour simpliâcr, de représenter par i/y/â. Il en résulte

Il = . — 9 a.c z=z == >

I , Jix^ — I + .r I \/'>.x^ — I

S = y log — - - arc tang ^

La différentielle proposée, mise sous la forme

dx

ne renferme que la variable x*, son carré et sa différentielle 5 on est donc assuré qu'en posant î2.r* — ï = x^z\ l'expression transformée ne contiendra pas de radical dont le degré soit plus grand que 2. La nouvelle substitution no diffère pas d'ailleurs de la première, car zu = i.

420. L'analogie de cette question avec la précédente conduit à poser

y^S-r" — I H : z:r: - = 2 tt*,

d'où résulte

r du J i - n

im

SOLUTIONS. 2g3

Observons encore que, la diflGerentielle de l'expression proposée pouvant s'écrire

re

dx

y.lm

cette forme suggère assez naturellement la substitution 20:"* — i = x*'"2''", qui ne diffère pas au fond de celle qu'on vient d'employer.