En posant successivement

on trouve

__(2.2^— 0"" Q Çz'^-'^dz

Les dernières intégrales de ce paragraphe, à partir du n*^ 415, ont été données par Euler, mais sans indiquer la voie qui a pu le guider dans le choix des substitutions. •

^ § V. — Intégration par réductions successives.

I se v.n — 3i/* dx

Si n est positif et entier, l'intégrale est ramenée à/-

dx

Pour w = 4^ on trouve

8=^ --7-T TTT -♦-

6 a»(û5'H-.r»)' 6.4 a*{a'+x2)» 6.4.2 û«(a'4-ar»)

■^^ -arctang-.

ar»-»

2(/?— i) («'-f-;cy-» 2(/?

n et p étant positifs et entiers, l'intégrale se réduit à l'une des trois formes

où A" désigne un nombre entier positif.

Pour w = 4? P = ^-i on trouve

S = -, H — [jc — arc tanc - | •

Pour 72 == 5 ,