Si l'on pose
et qu'on fasse
3oi
il vient
'z-'^dz.
t/'ût
Or
et par suite
De même,
Si donc on fait croître h indéfiniment, on a
liin(
A-B) = (ô--a)7r> + limAV<? '^^ — e ^V;
et, là limite qui figure au second membre étant nulle, il vient
u=z[b — a) TT*.
i'SS. On trouve, au moyen de l'intégration par parties.
-t- [i — (i — x')'J logx;
^^^ CALCri INTÉGRAL.
et en ayant égard aux limites,
u = log 2 — I .
[i.39. w = lim — logsin f - - ) H- lox^sin f ) 4-.. »
-l-logsin
mlim -^ lofirl sinf 1 sinf- - ) ...sinf ) 1
/i croissant indéfiniment.
On a d'ailleurs, par le théorème de Cotes,
= 3' — 2Z CCS - TT H- I I Z' — 2 Z COS
X I ^'^ — 2Z COS 77 -h I 1 •
Pour 2 = 1, cette relation donne
,z = 2^(-)sin'(iî^Uin'(^^V..sin^(^i^^l,
et par suite
log« — 2(72 — i) log2
Multipliant les deux membres de cette égalité par — - et passant aux limites, il vient
jr I
tt = - loff -
4-11^0 • Cette intégrale se ramène immédiatement à la précédente en posant
sm£/.
SOLUTIONS. 3o3
Hhlikl. L'intégratioQ par parties donne la relation
logo:
En passant aux limites et tenant compte de l'intégrale du numéro précédent, il vient
« = t(ï — log2).
. , ^ r^ xsin.Td.r r^ X sin.r rf 442. u = / — + /
J^ I -+- cos*;c J^ I -h cos*
Faisant dans la seconde intégrale
elle devient
o I -f- cos^j ^ Jo 1 -4- cos»:
On a donc simplement
r si
'^ sin r dy ^ TT*
kkZ. L'intégrale proposée peut s'obtenir de la même manière que celle du n*' 439, qu'on en tire d'ailleurs en faisant ici a = I . La question revient, en effet, à chercher la limite de l'expression
"I ^^& ( ^' — ^ ^ ^^s - TT -+- I J -f- log fa' — 2a CCS - tr -f- i ) . . .
+ log la' — 2 a CCS ir -i-
quand n croit indéfiniment.
3o4 CALCUL INTÉGUAL.
Or cette expression peut s'écrire
- log la^ — 2, a cos -ir-f-ij la^ — 2 a cos - tt -h i J
X (^^ — aacos tt -h i j ;
et comme, en vertu du théorème de Cotes, la quantité comprise entre les crochets est égale à
on trouve
tt = lim ( - log — ;
Pour a < I , cette limite est zéro.
Pour a > I elle est tt log a*.
hkk. On a
/Xoaxdx , , , X rioaii-^ x)dx
-ji^=logxlog(, + .)-J g^ , ^ >
et par suite
Développant log(n-x) en série, il vient
Or, des séries qui représentent tangx dans les n*** \h^ el 1^2) on tire
TT* II ;r* Il
il en résulte immédiatement
3t* Où
/iH-S. On trouve, au moyen de I intégration par parties, D'un autre côte,
ou bien
r Mog(i — ^)^^ r' iog(i
ar) r/.r
en vertu du numéro précédent.
Cette intégrale aurait pu s'obtenir aussi en développant log(i — x) en série.
On déduirait facilement de ce numéro et du précédent
J^MogJT^.T- ^ /*' \o^T.d,r, /•' log.r^.r r*
/".rjog£^ __ 1 r' logarV..r» ït^
446. Si Ton suppose d'abord n pair et égal à 2a, le premier membre de Tégalité qu'il faut établir renferme a — 1 facteurs de la forme r(r) r(i — r), plus le facteur du mi
lieu ri-j =:r^. Ce premier membre peut alors s'écrire
[formule (D), p. 297]
. /I7r\ . /27r\ . la — i7r\
sm sm ( 1 . . sm ( )
Frenet. — RecueiU 20
3o6 CALCUL INTÉGUÀL,
D'ailleurs, on a trouvé (n° 4.39)
«.2-'(-.) = sin» (l l^ sin' (II)... sin' (^ ^) ; le produit considéré est donc bien égal a
(air) 2 /î""*.
Si 71 est impair, le nombre des facteurs est pair, et en recourant encore à la théorie des équations binômes, on retrouve la valeur précédente.
kkl. On tire de Téquation
/ ^-''^r = - ( - ) [formule (B), p. 297], •en la difTérentiaut n fois par rapport à a et posant ensuite
