Si Ton pose

il vient

^p— i ( * "~ ~ ) ''•^» "" = "> A^ = — I (i — u)Pu'' du

et, en intégrant par parties,

D'ailleurs

A^ r=pm'' / (l — uy-^it"du

/ {i — u)P-'u"duz= j {i — uy-'u^ \i^{i-^u)\du;

d'où

(i — u)Pu" du =: np I (i — uY^^u" duy «/o

et par suite

[np -h i)Ay, m npkp^x.

Si ^ = m, on a la. relation proposée. En donnant à p toutes les valeurs entières depuis m jusqu'à i, on trouve

n in on mn

/2-f- 1 2/2 -+-I 3/2-4- I mn-\-i

SOLUTIONS. 3ll

j I , toujours plus

petîte que e~'", se rapproche autant qu'on >eut de cette limite, quand on fait croître indéfiniment le nombre entier m. On peut conclure de là

e-'^dx = lim I ( I j Jr.

Pour établir cette relation en toute r/gueur, considérons les trois intégrales

dx ■:= A ,

où l'on suppose h <^ rn"^ et par suite

On peut toujours prendre m assez grand pour avoir A=B-+-a, a désignant un nombre aussi près de zéro qu'on voudra. On peut également donner à h une assez grande valeur pour qu'on ait aussi

£?-* Vj: == A -4- 6, o

6 étant du même ordre de grandeur que a. Il suit de là

foc e'~*"dx — B est infiniment

3ia CALCUL INTÉGRAL.

petite pour met h infiniment grands 5 il en est à fortiori de