A=:^-(<?2-tf '^)=za{x^-a
W6. L'équation de la courbe étant ( - j H- ( ^ ) = « ^
on est conduit à une différentielle binôme. Le calcui donne
pour Taire totale.
On arrive plus rapidement à ce résultat au moyen du théorème suivant, du à M. Lejeune-Dirichlet. Soit
V= \d.T Idx j dz.,.af'''x^'^zP-'
3l6 CALCUL IMTÊGRAL.
Les lîmîtes étant données par la condition qu'on ait toujours
et les quantités a, A, c,..., a, 6, y,.--^ P? ^î ''vm étant positives, la fonction V aura pour valeur
ri^\r(-]r(i^
par ( a Oc
Or Taire chercliée A a pour expression 4 f j da: cljr^
les limites des intégrales étant assujetties à la condition
ià
on a donc
et comme, d'après les formules (D) et (G), p. 297,
r(4) = ..,.3. r(^) = r(.^l) = lr(i), r(l)^,;^.
on retombe sur l'expression déjà obtenue. Le théorème de Lejeune-Dirichlet se trouve dans le Tome IV du Journal de Liouuille.
On peut remarquer que la courbe représentée par l'équation
(f-(ir="
est toujours carrable quand /* est entier ou la moitié d'un nombre entier.
hn. En employant les coordonnées polaires, il vient
A=: 7^û^sin2Ô -f-C.
L'aire totale est égale à a*.
L»o A i r^ d9 I, 1 + tango
VIS. A^::- /' - = 7log r-^*
2Jq COS2Ô 4 ' — tango
On tirera de là
iA — îA
tangG=-^^^ riA' '"'^^ +^
La courbe est une hyperbole équîlatère ayant pour équation, en coordonnées rectangulaires,
Si Ton exprime aussi les coordonnées x et y en fonction de A, on trouve
«A . — îA «A -îA
La grande analogie de ces résultats avec les formules connues
tAi , — SAi lAi — 2Ai
. e -he . ^ e —c
ces 2 A rr:: j Sm2A = :
a fait donner à Tabscisse le nom de cosinus hyperbolique de 2 A, et à l'ordonnée celui de sinus hyperbolique de la même grandeur, ce qui conduit à écrire généralement sous forme abrégée
(H) z=.Cha, = Sha.
3l8 CALCUL INTÉGUAL.
Si Ton rapproche de l'hyperbole considérée le cercle qui a pour équation
en appelant Aj le secteur circulaire correspondant au même angle 6 que le secteur hyperbolique A, on trouve que Tabscisse et Tordonnée du point déterminé sur le cercle par cet angle 6 ont respectivement pour valeurs cos2 A, et sin 2 A,, ce qui rend plus complète encore Taualogie qu'on vient de signaler.
La considération des fonctions hyperboliques Shx et Clix a conduit à d'autres définies par les équations
De plus, à chaque fonction correspond la fonction inverse. Par exemple, de l'équation Slio: =j't où x est Vargument de la fonction Sh, on tire x = argShjj^, et ainsi des autres.
Le Tableau suivant niontrç que Tanalogie entre les fonctions hyperboliques et les fonctions trigonométriques subsiste dans un grand nombre de cas.
Formules relatives aux fondions hyperboliques»
Chx ''^'~
— 1 Tn T —
Sh(/ar) iûnx.
Ch(/^) — coso:,
Th(/.r) — /tangj-,
sin(/\r) /Shx,
cos{/.r) — Ch^,
teng(«.r) = iThx.
Sho=:o,
Cho I,
Tho=:o,
ShoD 30 ,
Choo 00 ,
Thoo-— !•
Sh( — x] — — Shar,
Ch( — ^)=Ch.r, Ch^jr — Sh».r— i.
Th(— ^) — — Thx,
Sh[x±
j ) = Sh,r Ch j H- Ch j: Shj,
Ch(j:dij) = ChxChj±:ShxShr,
Tli(.r±:j) —
Thj:±:Th/
idbThxThj
dx r/Sh.r = Ch jc^-r, r/Ch.r = Sh.r^ar, dUlix z=i -t — •
' Ch'.r
£•*= Ch j: -f- Shx, (Chx± Sh.r)"= Ch«.r ± Sh«x
Snxr= j7 H -I- ^ . y 4- . . ..
CliJrrz: I H 1 —-7 -f- . . ..
Sh.r = X i -f- -- I -h -1- 1 i 4-
tt'/ y 4 '^'Z \ 9
hes fonctions hyperboliques se rencontrent dans plusieurs questions. Lambert s'en est beaucoup occupé et en a le premier donné une petite Table ^ depuis, les travaux étendus de M. Gudermann [Journal de Crelle, t. VI et suiv.), et les Tables développées de M. Gronau (Dantzig, 1 863) ont mis en lumière Timportance et Tutilité pratique de ces fonctions. On consultera avec intérêt et profit, sur cette matière, Texcellent Recueil de Formules et de Tables numériques publié en 1866 par M. Houël, V Essai de M. Laisant (1874) et le Traité de M. Gûnther (1881).
4.79. {Fig. 27, p. 320.) Pour avoir l'aire enfermée dans la ligne ODGAHC, on intègre depuis = o jusqu'à la première valeur de 9 qui annule le rayon vecteur, et l'on double le résultat. Soit a cette valeur fournie par l'équation de la courbe, on trouve
aire ODGAHC -^ - [(«'-+- 2 6»)« -f- 3ô(<2»— ^^'j^J. On a aussi
aireOEBF==-[(/t»4- 7.ù'){n ^ a) — 5b{a^- h^y].
Roberval, qui a calculé le premier Taire de cette courbe, lui a donné le nom de limaçon de Pascal, C'est une concljoïde du cercle, dont la construction a été déjà indiquée
{n°263). Cette même construction montre qu'elle est la podaire d'un cercle (235) par rapport à un point quelconque de la circonférence.
Le limaçon de Pascal, qui figure parmi les épicycloïdes, est aussi un cas particulier des oi^ales de Descartes ou courbes aplanétiques (n** 329).
4^80. A == - a' tango -f a ab log tang ( j
^'b] -hC.
kSU En faisant usage des coordonnées du n^ 277> on trouve facilement
et par suite.
r^dQ=zpds=zp[dr^-hr^dB^)\
Appliquant cette formule à Tépicycloïde , dont l'équation
est mise sous la forme
^~ (a-^nby—a^ ~~ c2 — a' ' obtenue à la fin du n" 276, il vient
Azzr
c{r^ -^ a})' ic^ — r^y c[c' — à") , ( r^ — a? \'^ -— 7^-^ — I — ^ — 7 arcsm •
On déduit de là que l'airfe engendrée par le rayon vecteur pendant une révolution entière du cercle mobile a pour ex- , pi'ession
-î^ 7 ^— — û' -+- Zab -f- a^M,
en remplaçant c par sa valeur a -h ai.
Cette expression renferme, outre l'aire comprise entre le cercle fixe et Tépicycloïde, un secteur du cercle fixe dont l'arc a pour longueur la circonférence mobile. Ce secteur ayant pour valeur xsab^ la surface restante est égale à
(3a -f- ib),
usa. En coordonnées polaires la courbe a pour équation
a'sinOcosG sin* 9 H- cos^ ' par suite,
^o:«A«^-û^û ^t '^^ tango rf(tange)
a} r^ sinOcosQéfe «* /•''tan 2 Jq sin<ÔH-cos*0 hJq I
tang^d
= Y ^^^ tang(tang*6').
Faeh£T. — Recueil, 2 I
L'aire contenue dans Tune ,des boucles de la courbe est donc égale à -5-«
^ 483. Par un changement d'axes de coordonnées, l'équation prend la forme
X = En posant a — a: ^ = 2*, il vient
Or
r z'dz
= — -ri z^d^^a — 3;
donc
, r g^^g ,^ r z^dz _____£ ,/ir=3?
On a, par conséquent,
A = (4a — 3zM^H-C.
On déduit de là que l'aire de la courbe renfermée dans
la boucle est égale à 7-9 et il en est de même pour la surface
comprise entre la courbe et son asymptote.
Cette courbe, que Roberval appelait feuille de Jasmin, a été signalée par Descartes dans une de ses Lettres comme
échappant à la méthode des tangentes donnée par Fermât. C'est Huyghens qui en a le premier trouvé la quadrature.
§ IX. — Rectification des courbes.
On désignera généralement Tare cherché par S.
