S = a log~> l'arc étant supposé nul pour jj^ = a
V87. S = «r-l(§^^V^Z«-HC.
La longueur de l'arc, à partir de l'origine, est
/Sa—3x\' , /-, (8«— 3a:)'--(6«~3.r)^
2 a ( I — 4« + 2fl i/3 loff ^- — — —*
\ 2a-a;/ ^ ^ sj^—^^a
SU l'on fait croître y indéfiniment, la différence S — r tend vers la limite 2 a [ ^ log ( 2 -h yjo) — 2 J .
488. On est conduit à une différentielle binôme. Il en résulte
[[^'xY ^[^^xy\ -^'
ce qui donne — pour le quart de la longueur de la
courbe. On obtiendrait le même résultat en observant que, pour rectifier la développée d'une courbe connue, il suffit
de prendre la différence des rayons de la développante qui correspondent aux extrémités de l*arc dont on veut trouver la longueur.
489. En faisant a H- t = 6« dans les formules (D) du 11® 23k^ on en tire
S= / abn sm tdt=-^ L sin'---.
Pour l'hypocycloïde, il suffirait de changer le signe de b dans la parenthèse.
La question proposée se résout très-simplement au moyen des coordonnées r et p ( n« 4.81) .
490. La courbe étant située sur une sphère, les coordonnées d'un de ses points M peuvent s'écrire
j: = a cosOsiny, jr = a s\n6 sinff z = acoSf,
On lire de là
et les angles oj eiO sont liés par la relation
1 — siny Ch . /i = I . ( Foir pages 3 18 et 3 ig- )
sin
On en déduit, en supposant nB positif,
, ^ r„, ^ nd^ ces© Sh 710 i
I COS7r=:Th«0, --z^--^__=--,,
€19 smv Ch/id sm^
et, par suite, si l'on fait n tang y --«' i ,
g __ e> — «po COSa
La loxbdromie est la courbe qu'un vaisseau décrit sur la mer en coupant tous les méridiens sous un angle constant, qui est ici a. Nonius (1492) s'en est occupé le premier.
Halley a trouvé que la projection stéréographique de cette courbe surTéquateur est une spirale logarithmique (273), ce qui résulte immédiatement d'une propriété bien connue de ce genre de projection. On le démontre d'ailleurs aisément par ce qui précède, car Téquateur étant pris pour le plan xy et r désignant la projection stéréographique sur ce plan du rayon vecteur de M, on a d*abord
r = «tang|;
puis, en vertu de la première des équations (i),
.9 I — ces® Ch«6 — Sh/iô .
® 2 i-+-cosy Chne -i-Shne
Maupertuis s'est également occupé de la loxodromie [Mémoire sur la parallaxe de la Lune et Mémoires de l* Aca-
demie des Sciences fOVLV i y 44)'
li^91. Les tangentes en Mj et M, étant parallèles entre elles, on a
fÇri ^ d(a,xx-^a7Xi) __ fÇr .
la tangente en M leur est donc aussi parallèle, et par conséquent
djr clxx dx<x d^a^x^-^- a^x^") ds dsx dSi ^{«1 J| -4- ûa5j)
puis
j = rt, j, -f- ûj 5j,
en faisant commencer tous les arcs au point O.
^92. En difierentiant l'équation donnée, on trouve
a} — 6aV^ -h /•• ,
Cfr, irr 2 «' ===1 ûfr.
D* ailleurs,
d'où résulte
dr a* — 6a* r* -h r* dr
or ou a
par couséquent,
. Ce résultat est du à Faguano.
k93. En désignant par s la moitié de la longueur de la première courbe, par s^ un arc quelconque de Thyperbolc, on trouve
Il faut démontrer que la valeur absolue de la difierence r — Si tend vers ^ quand on suppose que r croit indéfiniment. Pour rapprocher les formes des intégrales qu'il s'agit de comparer, faisons dans la première r = az', et dans la seconde a = rz'^ il vient
o r' ^^dz /»' dz s=6a i j» #, =:a I 7>
et
Oi
et comme on trouve, en intégrant par parties,
/ {l — z')Kh (1 — zM^ .^ 1 ''<^'
il en résulte
On conclut de là
lim(/' — j,)=:« / r=2'
ce qui démontre la proposition énoncée.
M. Faure [Nouvelles Annales de Mathématiques, 1 853) a généralisé la question précédente en remplaçant l'hyperbole par la courbe qui a pour équation
SaS GÂLCOL IMTÉGRAL.
§ X. — Cubature.
On désignera généralement par V le volume cherché.
