Soient

x2 H-7= -f- z* z= fl', .r' -f-7' = /'*

les équations de la sphère et du cylindre ^ si Ton pose

A» = rcosô, j^^rsinO, il viendra

1— / I zrdrdB= I f rdrdB{a^^r^)

503. Observons que Tintersection C de la sphère et du cylindre est une courbe qu'on peut concevoir engendrée comme il a été dit au u? 296. L'angle 9 détermine en effet un point m de C auquel correspond un point M de l'intersection, et, si Ton désigne l'angle Mom par 9, on trouve, en vertu de l'équatiom de la courbe, 9 = nO.

Cela posé, en considérant seulement la demi-sphère située dans la région des z positifs, le volume V, limité par le plan ZOX, le plan ZOm et la surface cylindrique, a pour expression

Le premier terme -5- mesure la portion de la demi-

sphère comprise entre les mêmes plans que le volume V^ le second, qui a pour valeur

-TT— Q sm' - — sm* — ^ I =r: E, 18/? \^ 2 1 J

est donc l'excès de cette pyramide sphérique sur V. Pour

ç = - cet excès se réduit à

2 gn

On peut trouver directement l'excès E, sans recourir aux

332 CALCUL IMTÉGRAL.

intégrales doubles, en- considérant le segment sphérique dont une base est celle de la demi- sphère, et l'autre un petit cercle qui passe en M. La hauteur du segment étant a siny, son volume sera, d'après la formule connue.

^(2-f.COS^λ;,

et la différentielle de la portion de ce volume comprise entre les plans ZOX et ZOm est, à un infiniment petit près de sa valeur,

«^sinç» ( TT j rtô.

En en retranchant lecylindre infinitésimal qui a pour volume

. v'^dd a? , , ^^

a sm0 r= — smo) cos'œaô,

on retrouve -^ sin^cp^/O pour l'élément de E.

Si /î =: I, l'excès du volume de la demi-sphère située dans la région des x positifs sur celui qu'en détache le cylindre entier est égal au neuvième du cube du diamètre. Ce résultat a été donné par Bossut.

Pour 71 = ^ » C est la courbe étudiée par Pappus (n® 296),

et l'excès du volume de la demi-sphère située dans la région des z positifs sur celui que le cylindre en détache est encore égal au neuvième du cube du diamètre.