On a (n
par suite
o.ir
. 505. ABDC (Jig. 28) représente la section faîte dans le solide par le plan qui contient les deux axes. Le point le
Fig. 28.
plus haut de la portion de volume située au-dessus de ABDC se projette en O, point de rencontre des diagonales de ce losange. A une distance z du plan des axes, menons un plan qui lui soit parallèle^ la section obtenue se projettera en PQSR qui est sa vraie grandeur. Soient A la section, a le rayon de base commun aux deux cylindres, V le volume cherché ] on aura
I Adz,
Abaissons OK = p perpendiculaire sur PQ, il en résulte
2/7 = PQ sina, A = —
ip'
sma
D'ailleurs, p^ z et a formant un triangle rectangle,
d'où enfin
smaj^ osmot
CALCI!L INTÉGRAL.
506. Il suffit d'évaluer le volume QEDB (fig. 29). AB est perpendiculaire à ED, trace du plan sécant sur la base
Fig. a<).
dont le centre est C Soit PNn/? r=: A la section faite par un plan perpendiculaire à la base et dont la trace N/i est parallèle à ED ( si Ton pose
on aura (n** 459)
Or
donc
T. tanga, jr* -h a:* = a' ;
y zzz-^a^ tanga« o
§ XL — Quadrature des surfaces courbes* On désigae généralement par S la surface chercliée,
SOLITIOWS. 335
507* L'équation diflerentielle de la cycloïde étant
^ — (if- V
on a
Jo \l7.a—x
II suit de là que la surface engendrée par la révolution de la cycloïde entière a pour expression
608. 27r / r (i + ^ j dx — 27ta\ 509. Les équations des surfaces étant
on tire de la première
dz .T fiz
(Lk z dy '
et, en posant j, = [a? — J?*)%
510. En nommant A la portion de Taire cherchée, limitée, comme le volume V du n"" 503, par les plans ZOX, ZOw
et la surface cylindrique, on a
A — «/ / j = a'Q—a^j sinnQdB.
L'intégrale du second membre, qui a pour valeur
— sin*-) représente l'excès sur A de Taire du triangle
sphérique limitépar les mêmes plans que A. L'élémeiitde cet excès s'obtiendrait aussi directement en calculant Taire de la zone qui répond au segment de spL ère considéré dans le n° 503.
Pour n =jt la courbe tracée sur la sphère est la spirale
de Pappus (n® 296), et Ton voit que la surface comprise entre cette courbe et la base de la demi -sphère est égale au carré du diamètre. Ce théorème, dû à Pappus [Collect. Math,, Liv. IV, prop. 3), est le premier exemple de la quadrature d'une surface courbe.
Si 72 = I , Texcès de la surface de la demi-sphère située dans la région des x positifs sur celle que le cylindre droit en détache a pour valeur 4«'. Ce résultat résout le problème qui consiste à percer un dôme hémisphérique de quatre fenêtres égales telles, que le reste de la surface soit équivalent à un carré, problème que Viviani proposa sous forme d'énigme aux géomètres de son temps. Voici en quels termes il s'exprime dans les ^cta eruditoruni de 1692 :
Mnigma geometrlcum de mirn opificio testudinis quadrabilis * hœmisphericœy aiUore D. Pio Lisci Pusillo Geometra,
« Inter venerabîlia olim Graeciae monumenta extat adhuc » perpetuo quidem duraturum templum augustissimum » ichnographia circulari almœ Geometriœ dicatum, quod » testudine intus perfecte hemisphaerîca operitur; sed in » hac fenestrarum quatuor œquales areae (circum ac supra » basin hemisphœrœ îpsius dispositarum) tali configura- » tîone, amplitudine, tantaque industria ac ingenii acu- » mine sunt extructœ, ut his detractis superstes curva
» testadînis superficies, prelioso opère musivo ornata, » tetragonismi vere geometrici sit capax. » (n° 503.)
Sous r anagramme qui dissimulait le nom de l'auteur, on trouve : Postremo Galilei discipulo. Le problème était en effet une épreuve à laquelle un des élèves les plus distingués de Galilée voulait soumettre la nouvelle analyse créée par Leibnitz. Celui-ci en trouva la solution le jour même où le programme de Viviani lui parvint (Jlcta erudit.^ 169^^)* Jacques Bemoulli résolut aussi la question et montra qu'on y pouvait arriver d'une infinité de manières. La construction géométrique donnée par Viviani lui-même est ingénieuse, mais manque de rigueur. Un religieux camaldule, Urbain Grandi, en fit connaître une plus satisfaisante en 1699. n prouva en outre qu'on peut détacher d'un cône droit une portion de surface quarrable, à laquelle il donna le nom de voile du Camaldule; mais cette remarque avait déjà été faite en 1696 par Jacques Bemoulli. On peut d'ailleurs la formuler ainsi : Tout, prisme droit dont la base s'appuie sur celle d'un cône droit détache du cône une sur j ace dont le rapport à la hase du prisme est égal à celui du côté du cône au rayon de sa base.
Bossut, comme on Ta, vu (n** 503), a démontre que le volume du dôme de Viviani est égal au neuvième du cube du diamètre de la sphère, Euler a beaucoup généralisé le problème de Viviani (Comm, no\f, Acad, Petrop.y 1759).
