Dans le cas particulier où l'on a

a z= b := C z=z Oy

l'équation se réduit h

et rentre dans celle du numéro précédent.

Pour voir s'il est possible de ramener l'équation ^donnée à la forme (i), changeons de variables et posons

a et S étant deux constantes qu'il s'agit de déterminer de manière à obtenir la réduction qu'on a en vue. On est conduit de la sorte à satisfaire aux deux équations

i a (a H- «I a -4- «26) — (é -f- èi a -h ^,6) = o, ^ 6(a -f- a, a -+- 0,6) — (c 4- <î| a -h c, 6) r=: o.

On peut les écrire

et si Ton pose chacun de ces rapports égal à A, il en résulte le système

^-^•(^i — a) a -f- 6, 6 = 0, C-4-C, a 4- (Cj — >)6r:=0,

d'où Ton déduit, pour déterminer X, et par suite a et ê, l'équation du troisième degré

(a — X) (!/i — \) (c, — X) — è,c,(a — \) — a^c[bi — >)

— axb[c.i — X ) -h «i ^2 c — «2 èc, = o .

La réduction à la forme (i) est donc toujours possible, et Téquation proposée peut toujours s'intégrer.

L'intégration de cette équation a été donnée par Jacobi [Journal de C relie, t. XXXIV), en adoptant une marche très différente de celle qu'on vient de suivre, et qui est due à G. Boole.

554. Cette équation rentre dans celle de Riccati, dont la forme générale est

et qu'on sait intégrer toutes les fois qu'on a

2rzli: 1 r étant un nombre entier. Dans l'équation proposée,

on trouve alors