Les équations données reviennent aux suivantes

{Pjc dR a: d'y riR y €pz dK z

di^ dr r dt- dr r dt' dr r On en tire rdy — ydjcz=zC^dt^ ydz — zdy =zCjdty zdx — xdz=.Cidt.

Si Ton ajoute membre à membre les carrés de ces équations,

le résultat peut s'écrire

(2) (x^-\-y^ -\-z^)[dx^ -^ dy'^ -\~ dz^)--[xcîxA-y dy -^zdzY=z A}dâ^

A* représentant la somme C J -H C^ -+- C* .

D'ailleurs, en multipliant les équations (i) respectivement par idx^ ^dy-i ^dz et ajoutant, il vient, 2B désignant une constante arbitraire,

dx^ -h dy'' 4- dz" = 2(R -4- B) dt\ ce qui permet de mettre Téquation ( 2 ) sous la forme

(3) [xdx -^ydy -\-zdzY = [2r*(R + B) — k.']dfi = r^drK On tire de là

(4) dt = [2r\K -4- B) — A^]"^rdr,

366 CALCUL intégual.

et, en différenlîant,

dO "~ dr "^ 7^'

Ce résultat permet de déduire de la première des équations une relation qui ne renferme plus B *, on trouve ainsi

ou bien

dO r dt^ ' r* r '

d r d (xX! A' X

Changeons de variable indépendante et posons

(4) . dt-^T,'^

la relation précédente devient

—SLL^l

et par suite

- =gt cosy -f- A, sin^ .

On aurait de même

- = gi cos(p -f- h^ siny ,

- = g^ cosy -4- A3 sin ^.

On tire d'ailleurs des équations (4) et (5)

e-ha=z 1 [2/'(R -f- B) — A^]'Kdry

SOLLTIONS. 367

Les constantes arbitraires A, B, a, 6, gfi, //i, ... ne sont pas toutes indépendantes. En effet, en élevant au carré les valeurs de .r, j^, z et ajoutant les résultats, on trouve

I = coVy (g^î -f- g\ 4- g\) -t- ûn^^{h\ + h\ 4- hl) + 1 Ûntf COS«p(§',A, -f- g^K -f- g's^a)-

Cette relation ayant lieu pour toutes les valeurs de ç, on en conclut

g,h, -^-gihi-^gih — O',

de plus, 6 modifiant seulement les constantes g^i, 7/i, . . . , on peut le supposer nul, et il reste en définitive six constantes distinctes.

Observons aussi que les intégrales qui déterminent t et y ne sont pas indépendantes. Si Ton pose, en effet.

on a

dS ^ dS

• Si R = - 9 fA désignant une constante, le calcul précédent

donne la loi du mouvement d*un point matériel attiré par une force centrale qui varie en raison inverse du carré de la distance.

Ce calcul, dû à Bînet, a été appliqué par lui au cas d'un nombre quelconque d'équations.

[Journal de Liouv^ille, t. IL)

§ XVIII. — Equations linéaires aux dériv^ées partielles

du premier ordre.