uz=- iL-^ + z-^ -, :i

3^1 CALCUL IKTÉGRAI..

d.v dy dz du

j-fz-f-w z-hu-\-.v a-4-ar-f-/ x -\- f -\- z Ajoutons terme à terme ces rapports égaux, il vient

d(a: -hjr -h z -\- u) dx dv

3(x H-^ + z -4- w) jr -^ z -h u Zv

en posant

D'ailleurs, on a aussi

dy — dz d{y — z) dv

z—y "" r — 2 "" Sf' d'où résulte

On trouve encore, à cause de la symétrie,

i»(z — uY = c\ i>{u — xy = c" y

Téquation intégrale est donc

?[«'(r--^)% «'l« — «)% v{u-'xY] — o.

§ XIX. — Équations non linéaires aux déniées partielles du premier ordre à deux vaiiables indépendantes.

On sait que pour intégrer Téquation

(0 A'^Jr^z^Pfq) — o

où

on pose le système des équations simultanées . . dx dy dz — dp — dq

/p ~ fi "Pfp + 7/; ~fs^Pfrfy + <lh

SOLUTIONS* 3j3

dont on délermîne une intégrale

contenant au moins Tune des quantités p^ q et une constante arbitraire C. Cela fait, les équations (i) et (2) fournissent pour p et q des valeurs qu'on porte dans Téquation

i/z = p dx -h q dy^

et, en intégrant cette dernière, on a Vintégrale complète

renfermant les deux constantes arbitraires C et Ci-

L'intégrale générale est donnée ensuite par le système

, , , 09 dif dCt

dans lequel on suppose que Cj est une fonction arbitraire de C. Ce système se remplace par une équation unique quand on peut éliminer C entre les équations (4)*

Si enfin, considérant C et Ci comme des quantités indépendantes, on les élimine entre les équations

df df

^=*'' dc=°' âc:=°'

on obtient la solution singulière de (i).

Il suffira donc, dans chaque exercice, de déterminer une intégrale complète de Téquation proposée.