Le système des équations simultanées donne l'intégrale

q — Cp,

au moyen de laquelle on tire de la proposée

lapQ = — z^[x + Cj) ±slz\x -f- C^)'— 4aGa». Posant

x-hCx = u, ±V^2^(.r 4-C/)' — ^ac^ = v^ l'équation dz = pdx -h i/dj- se met sous la forme

/ , ^dz\ I 4aC\"'^ • [udu-^ 7.aQ—\ («^— ^î j =zduy

SOLUTIONS. 3j9

ce qui donne rîntégrale complète

Il y a la solution singulière xjz — a = o.

621. Le système des équations simultanées donne l'intégrale <7 = C^, d'où résulte, en faisant x -i-Cj = (ù^ (p(i,C) = cf,,

par suite,

équation qui s intègre en posant

et donne l'intégrale complète

OÙ Ton représente par t l'expression

La recherche de l'intégrale singulière conduit à la solution s zr= o qui rentre dans (i ).

622. p = C(f étant une intégrale du système des équations simultanées, on eu déduit

q i^2C=. [z - r/C -f- yfbCY ^[z — aC — ijbc)\ et, par suite, pour l'intégrale complète,

On trouve une autre forme de cette intégrale en partant de l'équation

38o CALCUL INTÉGRAL.

qui donne

et conduit à celle-ci,

en y regardant q comme une fonction de x repréeentée par l'équation (i).

Il en résulte Tintégrale complète

c'est-à-dire

z [(x -f- C) dz v/(.r -h Cy -h 2^ j'

Si l'on fait a = 2, i = o dans la proposée et qu'on y remplace ensuite z par 2Z — 2 a, on retrouve une équation traitée par M. Imschenetzki [Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Traduction Houël, p. 87).

§ XX. — Calcul des variations.

Formules générales :

V=rF(:r,j,77, 7,...), fl^V = Mr/.r-f-N^/-f-Pc(p-*-Qrf«7-h.*.

fiy fip

Wdx = A,, — A,. -+- / Bw ^.r.

Xç « 'r,

Ax, représente ce que devient la fonction A quand on y remplace les lettres qui y entrent par les valeurs qu'elles

prennent à la limite x = Xi'^ A^.^ a une signification analogue. D'ailleurs,

n — N— — ^ — 'IUL

tlx dx' rtj.*

(t) Ax, — Ax, =; o, équation aux limites;

(2) B =0, équation indéfinie.

Si V renfermait Xo, Xi, j"o, j^i, poi pif-- valeurs de x, j^, p,. . -, relatives aux limites , on. ajouterait au premier membre de l'équation (i) la quantité

cxg I — — dx + ^jo / -7- «2''

«îj;, / -— é/j? -h ^r» / -7- ^^

Lorsque la fonction V ne contient pas de dérivée d'ordre supérieur au second et qu'on suppose en outre M = o , l'équation (2) se remplace par celle-ci :

V = P/.4-Qar-/7^+C;

et si l'on a à la fois

elle se remplace par la suivante :

Lorsque V renferme plusieurs fonctions de or, chacune d'elles donne lieu à une équation de la forme (2), à moins toutefois qu'elles ne satisfassent à une ou plusieurs équations données.

623. En égalant à zéro la variation de l'intégrale proposée, on trouve

Si l'on fait tourner autour de l'axe des x la courbe représentée par cette équation^ la surface qui en résulte renferme un volume qui, parmi tous ceux de même masse, exerce Tattraction maximum sur un point de l'axe. L'attraction est supposée proportionnelle aux masses et en raison inverse du carré de la distance.