L'élément de la surface en question est
2 ^ p désignant le rayon de courbure \ on a donc
Jx^ J x^ "
Comme a: et ^ n'entrent pas explicitement sous le signe, on trouve, d'après les formules générales.
ou bien
ce qui peut s'écrire encore
=1 Cp -f- C ;
C/? -+- C ___ Cdy -^ Q/d.r ^ î ds
Par un changement d*axes convenable on obtiendra
ou bien
dy
* as
, ip dp
dxz=i — a - — = — ^— T 9
dont l'intégrale est
On déduit de cette dernière
dy = dx
équation différentielle d'une cycloïde.
luQS quatre constantes qu'introduit l'intégration complète sont déterminées par les conditions de la question. Dans le cas où Ton donne les points extrêmes A et B, sans donner les tangentes en ces points, l'équation aux limites se réduit à
Q« ^/?i — Qo <îp* = o ou Q, = o, Qo = o;
par suite,
^, r= 00 , ^, rrr 00 ;
les points A et B sont donc les points de rebroussement de la cycloïde.
625. Cette question est celle du numéro précédent généralisée^ elle se traite de la même manière. On trouve en effet, pour l'équation différentielle,
<'-*-^') ' =:-Cy,-.C'-.('-^^') •
CALCUL INtAgBAL.
ou
ce qui peut encore s'écrire
En changeant conTenablement les axes, cette équation devient
Kp K
(I -\rp^)
Prenant maintenant Taxe des x pour l'axe des j^ et réciproquement, et désignant toujours par la lettre p le coefficient angulaire de la tangente, on a
Substituons à p sa valeur
pdp
et intégrons, il vient
[ay -\- by^^ (lY
h-{ay + bY^^
On peut démontrer que dans les courbes définies par cette équation différentielle le rayon de courbure est proportionnel à une puissance de l'ordonnée. Ou tire en eil'et de
l'équation (i)
np''-'dpz= — K(i-+-^»)' '£//? = — K—,
et par suite ou simplement
en changeant convenablement les axes.
(O. Bonnet, Journal de Liouville, t. IX.)
626. Soient r et 9 les coordonnées polaires d'un point quelconque de la courbe, ds l'élément de l'arc, /'o et i\ les valeurs de r qui correspondent aux constantes x^ et x^\ si l'on fait seulement varier 0, ce qui est permis, la condition du maximum ou du minimum donne l'équation
Cette équation intégrée (n" Ml) prend la forme
r"+'cos(w-{-i)(0 — Oo)=C = r«-*-i (n«24.2).
Les courbes que cette équation renferme jouissent de la propriété de représenter, dans un grand nombre de cas, les intégrales eulériennes de seconde espèce (Serret, Journal de Liou\^ille, t. VII) . On les obtient aussi en cherchant la figure d'équilibre d'un fil flexible, homogène, dont la tension varie d'un point à l'autre proportionnellement à répaissem», et dont tous les points sont sollicités par une
Frenet. — Recueil, ^*^
386 CilLCUL TNTÉGBAL,
force centrale en raison inverse de la distance. (O. Bonnet, Journal de Liouv^ille, t. IX.)
On a d'ailleurs
et par suite
Apres avoir substitué cette valeur dans la première équation et intégré par parties pour faire sortir du signe / les
différentielles des variations , on arrive aux équations suivantes :
d\ {x — j^o)" -^1 — « (*'• — x^Y^^ds = o, Ât^ — A,^ — (îjr, / n(x-- x^f-^ds =r O,
A représentant l'expression
. ( dx . dy. dz ^\
Les deux premières suffisent pour déterminer la courbe.
On en tire
donc la courbe est plane. Si on la suppose située dans le
plan des x^y^ il faut intégrer Téquation Cette équation revient à la suivante :
ou plus simplement
(2) dy — dx
dont il est facile de trouver les cas d'intégrabilité.
Si /i = 5 la courbe est une cycloïde et le calcul qui
précède est celui de la bracliistochrone.
Cherchons ce que devient Téquation aux limites quand les deux points P© et Pi répondant à x^ et x^ ne sont pas fixes, mais assujettis à rester sur deux courbes données Cf et Cf Les variations des points extrêmes étant indépendantes Tune de l'autre, on a d'abord
I dx dy dz \
\(ts ds -^ ds /x,
c'est-à-dire que la tangente à la courbe au point P est perpendiculaire à la tangente au même point de la courbe Cj . On a aussi
\ds as ds /-
+ ^,^ / n(x — .T.Y-'ds = o.
D'ailleurs, pour tous les points de la courbe,
-r-d\ (.r — .ro)" — — - /z(.r — a:o)'*~*rfar — o,
388 ClLCUL INTÉGRAL*
d*où Ton lire
£' n(. - .,]'-'ds = [(. - ..Y ^]^ - [(, - *.). 1]^.
L'équation (3) devient alors
H- I (jt — XçY -- ^Zo = o.
Dans les multiplicateurs de djo et Szo on peut remplacer l'indice x^^ par l'indice jTi, car on a, pour tous les points de la courbe,
(x — 0:0)''-—=: const. , (x — .r^ )" ~- = coDst. 'as as
L'équation (4) ainsi modifiée prouve que la tangente à la courbe cherchée au point Pi est perpendiculaire à la tangente au point P^ considérée comme appartenant à la courbe C^.
L'intégration des équations (i) introduira quatre constantes, et il y aura en outre à déterminer les six coordonnées des points P^ et Pi. Il est facile de voir, d'après la méthode générale, qu'on obtiendra en tout dix équations pour calculer ces valeurs.
Les courbes renfermées dans l'équation (2) s'obtiennent
en faisant rouler sur l'axe des^ les courbes dont l'équation
est
r^cosme = rf (n«626).
628. Si l'on suppose la génératrice du cylindre parallèle à l'axe des z, la surface a pour équation
(l) ff{x,jr) = o.
soLOTiorfs. 389
La condition du minimum nous donne, en supposant les limites constantes,
D'ailleurs la relation
déduite de (i), permet de réduire à deux les variations sous le signe. Il en résulte alors les deux équations suivantes :
dz (3) ^5=0.
dont la dernière est une conséquence des relations ( i ) et ( 3 ) .
L'équation (3) apprend que pour toutes les surfaces cylindriques la tangente à la ligne minimum fait un angle constant avec la génératrice. Ce résultat était facile à prévoir.
Si le cylindre est droit, la courbe a pour équations
c'est une hélice.
