Il s'agit de rendre maximum l'intégrale
! (y^dx-^aytls)."
On trouve, en faisant varier seulement l'abscisse,
dx
et par suîte
[a'y'-ijr'-byy
Cette équation n'est pas întégrable en général, mais on peut toujours obtenir s en fonction dey. On a en eflet
ay d.x a Y dy
ds "=. —
ce qui s'intègre sous forme finie.
Si i= o, la courbe est un cercle.
630. La théorie des maxima et minima relatifs donne l'équation
[( j^ -f- aajr) ûfcr H- 2 1^^] = G.
Si l'on fait seulement varier l'abscisse, il en résulte l'équation différentielle
jr? -h 2 a/ -h 2 ^ — = C,
ou
dx
ou bien encore et par suite
d.Tz=
[^b^^(c-~ryy
C'est l'équation de la courbe élastique (n® 571). C'est aussi celle de la courbe que décrit le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole dont le grand axe est ai, et qui roule sans glisser sur l'axe des x {n^ 686).
631. La question revient à trouver la fonction de x qui rend minimum le produit
(l -\- p^ydx X / J'/^.
Or, si Ton cherche en général à déterminer une fonction j' telle que le produit UV soit maximum ou minimum, U et V désignant deux intégrales définies quelconques prises entre les mêmes limites, on est conduit à la relation
Les multiplicateurs des variations sont ici des constantes qu'on pourra calculer dès que la fonction sera connue.
Dans le problème proposé , Téquation à laquelle il faut satisfaire est la suivante :
(2) A(î / jr/r-f-B^/ [\ -\- p'^Y dx =z o,
A et B représentant les valeurs constantes que prennent respectivement les deux facteurs du produit ( 1 ) pour la valeur cherchée de y.
L'équation (2) peut s'écrire
il en résulte Téquation différentielle
cdx — d = o,
et par suite
[.v--^aY-^[X—hY=zc\
Il est manifeste que Tare de cercle qui répond à la question doit tourner sa convexité vers Taxe des x.
3g2 CALCUL INTÉGRAL.
Les constantes A et B, dont le rapport est le rayon même du cercle, se déterminent au moyen des intégrales dont elles expriment les valeurs.
63?. y variant seul, on a
Afin de faire apparaître sous le signe la différentielle de is^ on pose
et en ayant égard aux limites, qui sont supposées constantes,
' s^'da:ês = — 1 Rd^s= j dsdlR-
dy
ds
L'équation de la courbe est donc
d'où
ds ds
et par suite
dy Soit fait -~ = M, l'équation (i) devient
ds
a du
- 4- y»-> Jf = ,
tt*(i — tt»)
et enfin
nads djr= j.
Pour n =^ I, on trouve la chaînette.
633« Le dénominateur de l'expression proposée ne devant pas changer avec la nature de la courbe, il suffit de poser
Xffds=zo.
Cette équation devient, en ne faisant pas varier x,
1 {a:(^^€lsSs 4- xtf d$s) = o.
Afin de faire apparaître partout sous le signe la difiereutielle de ds^ on pose
I z(f'ds = H;
d'où
I Xff'ds^s^B.^s-' j RdSsy
et en ayant égard aux limites, qui sont constantes,
xff'ds9s=— j B.dh,
On trouve alors pour Féquation de la courbe
dy (H-x,)-=«,
d'où Ton tire
dy dy^ ad— —- «prfjcrrro;
ds ds^ ^ '
394 CALCUL INTÉGUAL.
Cl par suite (n° 632
ads
dx=
ja. + [F(.) + C]'|'
en posant
Y[s)— \ if fis.
Sî cf = I , on trouve la chaînette.
Le cas général est celui où. Ton cherche, parmi toutes les courbes de longueur donnée, celle dont le centre de gravité est le plus bas, en supposant que la densité soit en cnaque point fonction de Tare qui y aboutit.
634.. Posons, pour abréger, on aura, p désignant le degré d'homogénéité,
, du , du
par conséquent
, , ()u , , du
p du -.. X d —-7- -{- > ,.d'—-r -+-...
. àx, Ox,
ou ^ , du ^ ,
D'un autre côté, puisque l'intégrale j udx est un maximum
ou uii minimum, sa variation est nulle. En observant que les fonctions j)'^,, ^'^j, . . . , j^ ^le sont liées par aucune relation, il en résulte
.du du du du
Of, dyt ' dX7 a/, '
Par suîte, réquatîon (1) devient
. du , du
au , , du et, comme p est supposé différent de i, on en conclut
Dans le cas de l'équation (i), on trouve pour les valeurs dey^ et de j^j satisfaisant à la condition donnée,
