SOLUTIONS DES QUESTIONS DIVERSES

635. Désignons par A^ le premier membre de la relation proposée 5 on voit facilement que Aj est nul, quelles que soient les quantités x ex h. Cela posé, la diâerentiation donne

z=.mp\ (j:— ^)/'~«-f....(— i)— •^'"^M(.r— w^)/»-'-!-...

Si Ton fait x — h = z^ le multiplicateur de mp devient

zP-' —[^)[z — (m — i) /i]P-' + . . .

Or, pour p = 2^ ce facteur est identiquement nul, pourvu que m soit supérieur à p. A, est donc indépendant de A, et comme il est manifestement égal à zéro en même temps que /i, la relation est vérifiée pour p = 2. On Tétend sans peine aux valeurs plus grandes.

636. La relation est évidente quand m=i. En désignant le second membre par A,„, les dérivées des deux membres

SOL DUO JN s. ^OQ

par rapport à x sont respectivement

(2) m{x '\~ aY-\ mAm^ ,

Si ces résultats sont égaux pour une certaine valeur de m, les fonctions (a: 4- a)'" et A^ ne pourront différer que d'une quantité indépendante de x^ et comme elles sont égales pour x = — a (n° 635)? leur différence devra être nulle. Or les expressions (2) sont égales quand w = 2^ la rela-. tion (i) se trouve donc vérifiée pour cette valeur, et par suite pour toutes les autres.

La relation (i), qui généralise d'une manière si remarquable le binôme de Newton, a été donnée par Abel dans le tome P** du Journal de C relie.

637. En prenant les dérivées partielles des deux membres de Téquation (i), on obtient les formules connues

(A) d^__dQ ££___^

' djc dj" dx dx

Ces relations expriment, comme on sait, les conditions nécessaires et suffisantes pour que, deux fonctions P et Q de jr et 2^ étant réelles et continues, P + Qi représente une fonction de x + 17 et admette une dérivée. On peut remarquer qu'elles expriment aussi que les courbes représentées par les équations

où a et S sont des constantes, se coupent à angle droit.

En différentiant les identités (4), on en déduit celles-ci, également connues,

Si Ton diflérentie maintenant les équations (4) k — i fois par rapport a x et n — k fois par rapport à y^ on trouve

4lO QUESTIONS DIVERSES.

les formules (a). Les formules (3) se tirent des équations ( 5 ) en opérant d'une manière analogue.

Ces relations (2) et (3), dues à Prouhet, Tout conduit à des résultats algébriques et géométriques intéressants. (Sturm, Cours d' Analyse, 2* édition.)

La fonction Ph-Qî admet une représentation assez expressive, due à MM. Briot et Bouquet. Une valeur quelconque de la variable imaginaire z définissant un point (.r, j^) dans le plan xOy^ on peut concevoir que sur la perpendiculaire à ce plan en cliaque point on porte des longueurs respectivement égales à P et Q. Les deux surfaces qui en résultent jouissent de diverses propriétés, conséquences des relations fondamentales (4). Ces relations elles-mêmes expriment que, si Ton fait tourner d'un angle droit Tune des surfaces autour d'une perpendiculaire au plan xOy^ les plans tangents des deux surfaces aux points correspondants situés sur cette perpendiculaire deviennent parallèles. ( Foir BaiOT et Bouquet, Théorie des fond, ellipt,, 2* édition.)