I . 2 ... Al * I . 2 . . . rt

Si n — /» = /i, Tégalité des coefficients de ç"~* />* donne la relation (2).

SOLUTIOMS. 4'ï

La troisième s'obtient en prenant la dérivée par rapport à a, des deux membres de la seconde. On trouve en elFet, à cause de la première,

{)a*m 1.2.../- du^

doi. i ,2 ... in — /• ) (^«,

Or, Il étant une fonction homogène du degré n — i , en lui appliquant la formule ( 2 ) il vient

du, , . du

âa, Ôv.

et, par suite,

Les expressions de la forme A*u, u désignant une fonction homogène d*un nombre quelconque de variables indépendantes , ont été nommées par M. Sylvester les émanants d'ordre h de la fonction u. Elles jouent un rôle important dans l'Algèbre moderne [Foir Salmom, Leçons d'Algèbre supéiieure).

Remarque. — Lorsque la fonction u ne renferme que trois variables indépendantes x, y^ z, on sait qu'en l'égalant à zéro on obtient l'équation en coordonnées homogènes d'une certaine courbe, dont les coordonnées ordinaires sont alors exprimées par les rapports ~ et - • Dans ce

cas, les émanants de la fonction admettent une interprétation géométrique. Concevons, en effet, sur une même droite, le système des n points

un point m généralement distinct de ceux-ci, et un autre

point TTii à déterminer. Si Ton forme les rapports

mai mUi man

dans lesquels on a égard aux signes des segments et qu'on représente par l'expression

rfixa majk

la somme de tous les produits obtenus en multipliant ces rapports A à A, l'équation

'« im.-i{

rua / *

déterminera k valeurs pour la distance mwi. Chacun des points m, qui en résultent est dit un centre harmonique d'ordre k du système des points a par rapport au pôle m.

Cela posé, soit une courbe C de degré // représentée en coordonnées homogènes par réquationy*(X, Y, Z) = o, et supposons qu'autour du pôle /w, pris dans son plan, on fasse tourner une transversale; les points mj, centres harmoniques d'ordre k du système des points d'intersection de la courbe avec cette droite dans toutes ses positions, seront situés sur une courbe P qu'on nomme la (n — ly^^ie polaire du point m par rapport à C. C'est précisément l'équation de cette polaire qu'on obtient en égalant à zéro l'émanant d'ordre k de la fonction /^( a:, j^, s) = w^ x^y^ z représentant les coordonnées du point fixe m et Xi,yi, Zi celles du point variable iWi.

Pour démontrer qu'il en est ainsi, soit a l'un des points où la transversale mm,, dans une de ses positions particulières, rencontre la courbe donnée. Les coordonnées homogènes a, 6, y de ce point se déterminent facilement, car les points a^ m et m^ appartenant à une même ligne

droite, leurs coordonnées doivent satisfaire à la relation

qui est évidemment satisfaite en posant

quelle que soit la valeur de p. Cette valeur se calcule ici en substituant les expressions de a, ^^ y qu'on vient de trouver dans la relation manifeste

\y z J ma \y z, //?2, û'

d'où Ton tire

z ma

Zi 772, a

Si Ton exprime maintenant que le point a est situé sur la courbe, on a

/{x-hpXif X -hpji, 3-f-/>2,) ~o,

ce qui peut s'écrire, en vertu de (A),

- « -h - ) Am P \P/

I • 2 • • . At

Cette équation a pour racines les n valeurs de la quan-

tité - répondant à une position déterminée de la transversale. En égalant à zéro, en vertu de Téquation (4)5 la

4l4 QUESTIONS EIVERSES.

somme des produits k k k de ces valeurs, on trouve

^ " = ['''dr.-^^'d}-^" Tz) •^("''•^' "' = "'

équation qui est bien celle de la courbe P, puisqu'elle est satisfaite par les coordonnées\ri, j^i, z^ des points rrii dans toutes les positions de la iransvei sale. A cause de (2), 011 peut aussi Técrire

Si k est égal à i, on voit que le lieu ries centres harmoniques du premier ordre est une ligne droite appelée la droite polaire. Ce théorème a été donné par Cotes.

La théorie des polaires des divers ordres, créée par Bobilier [Ann, de Gergonne, 1828), a été Tobjet des travaux de plusieurs géomètres ( voir Clebsch, Leçons sur la Géométrie, 1" Vol.^p. 253^ traduction Benoist).