Si l'on pose ux~= s, Téquation devient

et en différentiant par rapport à x,

équation linéaire du premier ordre d'où l'on tire

641. Si la fonction cp(j:) n'est pas nulle depuis x = a jusqu'à x = b^ elle doit changer de signe dans cet intervalle, sans quoi, les éléments de l'intégrale étant tous de même signe pour une valeur convenable de tz, l'intégrale ne pourrait être nulle. Supposons donc que (^{x) change de signe, trois fois par exemple, et soient Xi^ x^^ x^ les valeurs de x qui donnent lieu à ce changement. Soit fait

Puisque l'intégrale est nulle pour toutes les valeurs entières

de w, on a

Jr*b nb

a Ja

X(f{.r)dr = o, I ^(.r)^/.r = o;

^l6 QUESTIOlïS DIVERSES.

et par suite

1 (Ax»-i-B.r»4- C^4-D)<p(a?)i/.r = 1 -^{x) ^{x)clx = o.

La dernière équation ne peut exister puisque, ^(x) et y (x) changeant toujours de signe en même temps, rélément de rintégrale a toujours même signe. D'ailleurs le raisonnement resterait le même quel que fût le degré de ^ -, donc, etc.

642. On sait que la formule de Wallis (n** 4.58) consiste en ce qu'on a, quand n croit indéfiniment,

ir 3.3.5,5. ..(2« — 0(^''^ — i)(2/î-+-i)

OU bien

2\ ' __ ^.^ 3.5.7...(2/Z— l)(2/I-t-l)^ TT/ 2.4*6. . .2/2

Jq 2 2.4. • .2/ï

par conséquent

,. . i TT ,. 1.3.5. ..(2/2 l)(2/î-|-l)^ / /2 \ *

limA./2= - lim ^ , '^ '— ,

lim/i' /

lim/i' / cos»"G^Or='^''^'^' '^'^^ ^'