CT

L'équation

%os"'+'9rf9 =r — f-^-°''

conduirait d'une manière analogue à la relation

lim/z* I Jq

lim/z* / cos'"-^* £?0 = — •

643. 1° Pour ramener Tintégrale à une forme connue, il suflBt d'un changement de variables. Si Ton pose, en effet,

ôiX, -h biX^ -f- . . . + 6„jr„ =r «2,

ces relations étant du premier degré, l'élément de l'intégrale transformée sera

OÙ a représente un coeflScient rationnel en aj, ij,.. .. D'ailleurs, les limites restent les mêmes, et comme on a,. d'après la formule B de la p. 297,

il en résulte

2^ On a également, en vertu des conditions admises,

6 étant rationnel par rapport aux quantités ai, &i, . . . . On

conclut de là

fi il

Faiket. — Recueil, 2^

jr3ls:S£3L-

4l8 QUESTIONS DIVERSES.

et par suite

(A1A3. . .Ab)* = -•

6ik. Soit

Afin d'avoir des limites indépendantes de A, posons

zh-=x\ il vient

T= Ç f^{i^z)^f^'[zh)dz.

Jo

Il faut que -^r- soit nul, quel que soit A; on a donc o^^^j'dz[i--zy^lh^^'[zk)-^h^fi''{zh)z'^.

= Ç dzh\i^z)''^\^ff'{zh)-hzhff(zh)\

Soit fait

^?'(^)+VW=F(a:),

— =\dz(h^zh)'Y[zh)=l —^ r = o.

Jo jf MA--r

Pour que l'intégrale soit nulle, quel que soit A, il faut que F(a:) soit nul identiquement; car si F(x) n'est pas nul, on peut prendre h assez petit pour que F(j:) garde le

SOLUTIOirS. 4^9

même signe dans toute l'étendue de l'intégrale, et comme le facteur j- est toujours positif, l'intégrale ayant tous

ses éléments de même signe ne peut pas être ntdle. Donc

ç'(a?) -f- 11Xff[x) = O.

On tire de là

équation diflerentîelle de la cycloïde.

Le problème que nous venons de résoudre n'est autre que celui de la tautochrone dans le vide.

(PuiSEtJX.)

645. En raisonnant comme dans le numéro qui précède, on trouve

dy = f A'jr-n»-^») — i^dx.

64.6. Multiplions l'équation (i) par le îdJcXGMvzdx, x étant une indéterminée, et intégrons par parties de manière à dé«'

barrasser j^ de tout signe de différentiation sous le signe f . Un terme tel que pj, ^ donnera naissance à l'intégrale

le signe -H répondant k n — h pair et le signe — an — k impair. Ainsi le résultat de l'intégration se composera

d'une partie débarrassée du signe i et de l'intégrale ^r fd^z df^Hp.z) d'^^ipiz) , 1.

Si z satisfait à Téquation (2), l'intégrale s'évanouît ; Téquatîon (i) devient donc intégrable quand on la multiplie par une solution de Téquation (2).

L'autre partie de la proposition se voit facilement de la même manière.

647. Supposons que V ne soit pas nulle pour x=^a. Comme l'équation différentielle proposée est du second ordre, on peut concevoir une fonction Vi qui y satisfasse et qui diffère de V en ce qu'on en tire, pour a: = «, des valeurs arbitraires de V* et de -— -^ différentes de celles de V

dx

et de -r- •

dx On a donc

\ dx ] \ dx )

GV=:o, -^— ^H-GVt = o;

dx dx

d'où résulte, en multipliant la première par Vi dx et la seconde par V dx et retranchant,

par conséquent.

On suppose que V n'est pas nulle pour ;r = a, et l'on peut

dV se donner à volonté, pour x = a^ des valeurs de Vi et -^

telles, que l'expression

aît pour x = a une valeur différente de zéro, qui sera celle de la constante. On voit alors que, pour toute autre valeur de x^ on ne peut avoir en même temps

puisqu'il s'ensuivrait const. = o, ce qui est contre l'hypothèse .

H suit de ce qui précède que la fonction V change de signe chaque fois qu'elle s'évanouit. On le fait voir absolument comme dans la démonstration du théorème de Sturm.

648 • Soit

l'intégrale première connue renfermant la constante arbitraire a. On trouve, en différentiant,

dx^ dy dx »

et, par suite,

Différentions par rapport à a cette nouvelle équation, elle donne

ou bien

dady dj da dadx^

ôjr dx

ce qui est la condition pour que l'expression

àa "" da

4aa QUESTic

soit une différentielle exacte. On a donc pour l'intégrale générale

{Journal de Liouville, t. XIV.} 6i9. En appliquant la formule de Leibnitz (n" 63)

iy"(w} = uvw -(-['") u'fi"-'' + . . .

et prenanl^(t') sous la forme

f{v) = vW 4- A. ^("-0 + . . . -t- A, «t-*-) -I- ... 4- A, V,

on reconnaît que '''{/' (f) s'obtient en formant la dérivée d'ordre p Aef[v), pourvu qu'on y considère les indices de dérivation comm.e des exposants et qu'on y suppose la fonction i> aâectée de l'indice de difTérentiation o. Dans cette opération y m Jo/iy Me, les coefficients A|, A,,..., Ap jouent le rôle de constantes. On trouve de cette manière

(-)/(.) = „(„.)... 2..'+ («ï). .î.iA,^.

La même loi de formation permet évidemment de déve- , "/(uf),..., ''''/(m-),..., etc. M. Brassinne a ression ''"'/(c) sous le nom de conjuguée de conjuguée p''™ de rexpression/'(i').

pie si l'on pose

D^'-l-.. .-i-A,I>^'' + ...-l-A„=f(D}, ! symboliquement

et il est facile de reconnsdtre qu'on a, pour toute valeur entière et positive de p^

Celte nouvelle forme de la conjuguée p'*"** A.e f{v) est remarquable. Elle permet de remplacer la relation (B) par celle-ci, analogue à la série de Taylor pour le cas des fonctions entières :

ç(D).«ï' = «y(D).f + Dtt(j)'(D).f +• • .

On développerait évidemment de la même manière la conjuguée d'ordre quelconque

650. I® Si Ton pose \^=^yi dans l'équation (B) du numéro précédent, elle devient

f[ux,) = (P)f(y,) -~5^ -h. . .-hriD"«,

et l'on voit que le second membre s'annule si Ton assigne à u l'une quelconque des valeurs

il en résulte que l'équation linéaire

admet les solutions

2° Soit fait u = X dans la même équation (B), elle se réduit à

En y substituant à {^ les valeurs j^i, o^i,. . . , oo^^^ji^ on voit que ces valeurs annulent (/"(f^), d'où il suit que l'équation linéaire

admet les p — i premières solutions (2).

Il suit de là que l'équation

admet les p — 2 premières solutions (2), et ainsi de suite. 3° D'après l'hypothèse, on doit avoir

/{Xi) = o, '/(r.) = o,..., («-o/(^,) = o,

d'où l'on tire, en vertu de l'équation (B),

Or, pour toute puissance entière et positive de x inférieure à 7ï, mise à la place de u, on a f[uj\) = o, c'est-à-dire que l'équation f{y) = o admet les solutions (3), et de plus la solution c„i;r""*j^i.

Si Ton assimile les solutions (2) aux racines égales des équations algébriques, les propositions de ce numéro établissent, entre ces équations et les équations différentielles linéaires, des analogies remarquables signalées par M. Brassinne, auquel on doit d'intéressantes recherches sur ce sujet. (Stubm, Cours d' Analyse, Note DI de la deuxième édition.)

651. On reconnaît d'abord que l'équation (i) admet la solution j^i, pour zi = 2. Afin de prouver qu'il en est de même, dans tous les cas, de l'identité

(2) D«^»+r)A,D'^«7, + ...4-( jA^D«-/'^. + ...-hA„^,==o,

SOLTJTIONS. ^25

supposée vraie pour n^ on tire en diflférentiant

D«+*7, -h r\ A, By, -h..,-h( "^ \ A^+, B"-PXi +... f JA;D»"-/'j,-4-...H-A;r,=o.

Multipliant par Ai les deux termes de Téquation (2) et l'ajoutant membre à membre à Téquation (3), on obtient une nouvelle égalité dans laquelle le multiplicateur de D^^Pj- est égal à

quantité qui se réduit à

en vertu des notations adoptées. Il en résulte que l'identité (2) subsiste quand on y remplace n par w + i, c'està-dire que l'équation

admet la solution j-i, quel que soit n.

Pour compléter la démonstration du théorème, il faut prouver que si l'équation (i) admet les solutions

l'équation

les admettra aussi et sera satisfaite en outre par la solution CnOO^yt» Il suflSt pour cela de chercher la conjuguée

'9»+i (y)^ qu'on trouve égale à 7iy„ {jr)y et de se reporter à la solution du n° 650 (3*^).

On arrive au même résultat en prouvant généralement que, si z désigne une solution quelconque de Téquation (i), l'équation (4) est satisfaite par la solution zx. Le premier membre de cette équation peut en eflFet s'écrire

scr)*-'--'-

d'où résulte, en y remplaçant y par zx^

quantité qui est nulle, puisque z satisfait à l'équation (i) et par suite à l'équation (4). On conclut de là que Téquation ç,(j^) = o admet les solutions c^i et c^xj^'^ puis que l'équation (f%(y) = o admet les solutions cj^i, Ci xy^y Cj x*j^i, et ainsi de suite.