L'analogie indique la forme suivante

V— r C C âadbdc...

p étant une indéterminée. On tire de là

par conséquent,

SOLtJTIOKS. 4^7

Le second membre sera nécessairement nul si l'on pose

p = 1 : la solution demandée est donc

dadbdc, , ,

[(or — fl)»-+- (r— ^)*+ (2— c)»...]* 653. Si Ton a généralement

la formule de Lagrange donne

(l) Y[z)z=Y[x)+oLf[x)Y'[x)-^ i ?l-D"-[/(a:)»F'(^)]-f— ..

I «s • • • il

pourvu que le module de a soit moindre que le plus petit de ceux qu'on obtient pour la quantité ^. > quand on y remplace z par les diverses racines de Téquation

Cette équation se réduisant ici à

[z — x)h — I = o, on doit donc avoir

(2) moda<mod-j^.

Sous cette condition, la formule (i) donne pour le développement demandé

a" sin z = smx H- ae^ qx)Sx -4- • • • H D*~' fe"** cosar) H- • • •»

OÙ l'on a

(3) D'-^e"** cosx = ^2i\'^ ] (wA )«-*-• cos Ix H- — J .

La formule du n^ 61 conduit à la formule plus simple sin2 = sinj? -h ac**cosx -f- . . .

l'angle cp„ étant défini par la relation nh tangcp„= i .

En partant de l'expression (3) de I>*~*e"*'cosj: pour calculer le module du rapport du terme général de la série au terme précédent, on reconnaît que ce module, pour n croissant indéfiniment, tend vers une quantité moindre que I quand la condition (2) est remplie.

654. Posant zp= w, l'équation devient u= 20: H- au^, et, pour appliquer la formule de Lagrange, il faut avoir

moda<mod'''^ ^^^

Cette condition satisfaite, si Ton pose F(u) =.u^= z^ on déduit de la formule (i) du numéro précédent,

(A) Zz=z[!lx)P-^ 1 / -^i \(2^) '^ H

Pour /[> = — ^, azf= — X4- yiM-a î et comme {\/x*-+- a H-j:)""* est celle des valeurs de z^ qui se réduit

à — quand on suppose a = o, on tire de (A)

nx

—in

Si Ton fait X^ = i , on a la relation remarquable

/ IX y