Posons

, . X sin.r , . sin/ij?

^ ^ *^ 2fl» l{«»-4-i)^ ^^ ^ /î(a'-t-ii»)

On tire de cette équation

„ X , . sin/i.î?

a^jr—y = h — I " 1 >

43o QUESTIONS DIVERSES.

d'où, en tenant compte de Tëquation (a) du numéro précédent,

y = Ce-' -h C,e-"=: C(c«'— tf-«),

puisque y s'annule avec x.

)n a donc

S = Cfl(e«'4-c^').

Pour déterminer la constante C, observons que lorsque une fonction <f (or) est donnée par la série de Fourier sous la forme

y (a:) = h Ai COS^ -f- . . . 4- A„COS/ï^ -f- • • «i

on a généralement

An=- I ff[x\cQ%nxdx,

Cette expression, appliquée ici au premier terme de la série (i), conduit à la formule

ir e«*-+-ir"«

na c** — tf-

aic

On déduit immédiatement de là les relations suivantes trouvées par Euler :

V^ I 7r« — I iz

V î = JL î in" m).

^a»4- (a«-+-i)» La 2a(e~+i) * '

657. Appliquant à la fonction /"(x,/) la formule du n^ 123 et faisant usage des notations du n° 100, il vient

o fs fj

fr //. fn

On tire aussi de la formule du n^ 100

o F, Fj.

et ces résultats, combinés avec l'équation évidente

vérifient immédiatement le théorème.

L'équation H = o, à laquelle satisfont les coordonnées des points d'inflexion de C, représente une autre courbe nommée la Hessienne de la première, et dont la considé-* ration est utile dans la théorie des courbes algébriques. Comme le degré de cette courbe est au plus égal à 3 ( /i — 2) , il en résulte que le nombre des points d'inflexion de C ne surpasse pas Zn[n — a).

658. L'équation de la courbe en coordonnées homogènes (n° 638) se met sous la forme

et celle de la première polaire par rapport à un point dont les coordonnées sont a, S, y est

du ^ du du ôx oy ôz

il en résulte, en remplaçant r et y par l'unité après la différentiation,

a[(x» + ^')(j7 -f- û) -h iiax^'\ -h 6j(a;*-t- j*H- nax — na^

-f- a[a^-{-xx^ — lay^) = o.

Si le point fixe est à l'origine, cette équation représente une cissoïde. Elle donne une strophoïde {voir BaiOT et Bouquet, Géom, analyt., 7® édît., p. 16) si l'on a

43a QUESTIONS DIVERSES.