On trouve le folium de Oescartes (n

660. La droite polaire du point m (a, 6, y) relativement à la courbe [Remarque du n° 638) a pour équation

dx^ dx^ ' ôz^ ' àyàz ' àxàz dxdy

ou, plus simplement, (i) A«*4- BS'H- Cy*+ aDêy + aEya -f- 2Fa§= = 9),

A, B, C, ... étant linéaires en or, j, z et les quantités a, 6, y satisfaisant à la relation

{2) aoL-^- b^ -^ cyzzzo.

Quand le point m décrit la droite L, on peut considérer les coordonnées a, 6, y comme des fonctions d'une même variable t. Pour obtenir Tenveloppe de la droite représentée par Téquation (i), on est donc conduit à diflFérentier (i) et (2) par rapport à t, ce qui donne

T^ ^a 4- t5 ^^ -+- T^ ^7 = O, adix. -f- bdS 4- cdy = o,

ÔK o^ Ôy

et, par suite,

/«v ££? i^ àf i df

^ ^ a ôk b d^ c dy^

ces dernières équations se réduisant à une seule à cause de

Si Ton égale chacun des rapports (3) à 2/:x, on obtient Tenveloppe cherchée en éliminant a, 6, y et fx entre les

équations

Aa -+-F6-4- E7 = /xa,

Fa-+-Be-4-D7 = fx3,

Ea-f-D6H- C7 = ficy ûaH-^^H- C7 = o.

Le résultat se met sous la forme

et représente, comme on voit, une courbe du second degré dont M. Cayley s'est occupé le premier et que M. Cremona a nommée la poloconique de la droite L.

La proposition qu'on vient de démontrer est d'ailleurs un cas très- particulier de celle-ci, due à M. Cremona [Introduzione ad una Teoria geometrica délie cwve pianey p. 11 4) :

Quand un point parcourt une courbe d'ordre m, les droites polaires de ce points relatii^ement à une courbe du ^ièmê oj^j^rc^ enveloppent une courbe de la classe ni[n — i). On sait que la classe d'une courbe est le nombre des tangentes ( réelles ou imaginaires ) qu'on peut lui mener d'un point pris dans son plan.