L'équation à laquelle on parvient peut s'écrire

(a^ — i]ydY -f- à^xdx ^=±dx^

d'où

(a»— l)/»-4- rt»x»= (C ±;p)».

663. En différentiant l'égalité qui exprime la condition donnée, on trouve l'équation homogène

( a?' -f- X* ) rfa? = Zxydfy dont l'intégrale est

66&>. Posons

d'où

dx j X 3y^ — x^

l'équation différentielle est donc, d'après la théorie des trajectoires orthogonales,

dx riSa^^r^)

SOLUTIOIÎS. 435

Cette équation homogène donne par l'intégration

équation d'une lemnîscate semblable aux proposées et dont l'axe est incliné de 4^ degrés sur celui de ces courbes.

Le problème des trajectoires orthogonales a beaucoup occupé les géomètres. Jacques et Jean Bernoulli en avaient déjà traité des cas particuliers lorsque Leibnitz, en 171 5, le proposa comme défi, a pour tâter un peu le pouls à nos analystes anglais », disait-il dans une lettre à l'abbé Conti. Le gant fut relevé par Newton, qui résolut la question sur-lechamp dès qu'il en eut connaissance^ Taylor le suivit avec succès dans la lutte. On doit à Euler de nombreux et importants travaux sur ce problème des trajectoires.