De Téquation ^[x^y^ z) = o de la surface, on tire

ôx oy àz

J <?î>' ()y^ dy*

/, m, n étant les cosinus directeurs de la normale MN au point M (x, 7^,^).

Soient en outre a, 6, y les cosinus directeurs du rayon incident qui aboutit en M, et qui rencontre en un point |x(5, >3,^) la surface S à laquelle tous les rayons incidents sont perpendiculaires. Posant /:xM= A, on a

(i) Ç — j?=aA, in—'y=Zhy Ç— « = 7/^.

Si «1, Stî 7i soîit deà cosinus directeurs du rayon réfracté qui passe en M ^ Çiî ^în C* ^^* coordonnées d'un point (Xi pris sur ce rayon à une distance de M égale à Ai, on a aussi

et il s'agit de prouver qu'on peut déterminer Ai de telle sorte que les rayons réfractés soient normaux au lieu des points /ut}. Or, en difierentîant les équations (i), on en tire

<f$ = Jo? -H ar/A + Arfa, <i>i = fl?/ 4- ^dh -f- hdZ^

rfÇ = r/z -f- ^dh -i- hd'i y

et par suite

puisque la droite jxM est normale à la surface 2. Les équations (2) donnent de même

(3) «icfÇ, -t-6,É?>i| +71^, = aidx -h €idjr-h "/idz -4- dki.

D'un autre côté, la première loi de la réfraction exige que le plan qui renferme le rayon incident et le rayon réfracté contienne la normale en M. On exprime ce fait en écrivant que Vaxe du plan /iMN est parallèle à celui du plan p^MN^ c'est-à-dire qu'on a, i désignant Tangle d'incidence, r celui de réfraction,

6/ï — ym 6,72 — 7,/w yl — an 7,/ — a|/2 sini sinr sini siur

am — 6/ a,m — 6,/

sini smr

d'où

h est ici l'indice de réfraction.

Comme on a

Idûc -4- mdy -4- ndz = Oj

on tire des équations (4)

adx -h ^dy 'hydz = k^ctida: -^^idjr -hyt'^z) = — dà^

ce qui transforme la relation (3) en la suivante :

dk k

dh.

Il suffit donc qu'on ait dli^ = -7- pour que les rayons ré*

fractés soient normaux à la surface des poiûts fAi, et par suite

à toutes les surfaces parallèles.

45u QUESTIONS DIVERSES.

Ce théorème remarquable a été trouvé par Malus, dans le cas particulier où les rayons incidents émanent d'un même point. La première démonstration qu'on ait donnée du cas général est due à Charles Dupin.

682. Prenant le point donné pour origine et la ligne donnée pour axe des x^ l'équation de l'une des sphères sera

jc' -f- ^' -h «' == 2 ax.

Si l'on désigne en outre par — j j- les dérivées partielles

relatives à la surface inconnue, on est conduit à intégrer

l'équation

dz Y^ -h z^ — j?' Y dz .

0x 1XXZ z or

On trouve

68&* On trouve immédiatement, en prenant A pour origine et âB pour axe des z^

dz dz , , ,i-

équation qui a pour intégrale

jM^i [(^ -+-r' -t- 2'^+ 2] = ? (-) •

^^.. . âz dz

On déduit de là

• {m — i)xdjc (n — i)ydy

uz = ' h '■ — '— j

et, en intégrant,

a* =: (m — l)a:2 H- (/ï — jj^a ^ q^