De Téquation connue (n** 316) on tire

et Ton a aussi

Taxe des z étant pris comme axe de révolution. Si, pour abréger, on représente x^ -f-jK* P^^" ^î ^^ qu'on tire de Téquation (2) les valeurs de /?, q^ r^s elt pour les porter dans l'équation (i), on trouve

(Pa do

fioL^ dx

En intégrant une première fois, il vient

df I

doL^ a(Ca — 4) t 4 t

ou, en posant a = ury ^ = a',

df^ à}

du} u* — a^

On déduit de là

ce qui fait voir que la surface cherchée est celle qu'engendre une chaînette en tournant autour de son axe, et que M. Lindelôf a nommée caténoïde.

Ce problème est un cas particulier de celui où Ton demande la surface de révolution dont la courbure moyenne est constante, surface qui jouit aussi de la propriété de circonscrire un volume donné sous une aire maximum. Delaunay a donné une élégante solution du cas général en prouvant que la courbe méridienne de la surface est celle qu'engendre le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole roulant sur Taxe des z (630). Quand la courbure moyenne est nulle, la courbe roulante est une parabole. {^Journal de Liouville, t. VI.)