TT' ^T

en désignant par h un nombre entier quelconque supérieur à a.

Or la série (a) n'est autre que la série harmonique dans laquelle il manque un nombre fini de termes \ la série proposée est donc divergente.

Cette conclusion subsiste, que le rapport a soit positif ou négatif.

3. On vérifie que la relation est vraie pour n ^= i et n=. i\ puis, en la supposant démontrée pour une certaine valeur tî, on fait voir qu'elle subsiste quand on y remplace /i par « -H I .

Lorsqu'on fait croître n indéfiniment, il est manifeste que le premier membre croit aussi indéfiniment pour les valeurs de X qui ne sont pas inférieures à i . Si Ton suppose x <^ i , on est conduit à chercher la limite de l'expression

OU simplement celle de nx". Or, en faisant x = — étant positif, on voit que cette limite est celle de

n{n — i) , \-\- nz -\ z' + . . .

c'est-à-dire zéro. La limite demandée est donc

[x-xy

k. Soit fait

il en résulte

de même

(j:-\-n)(x-^n-hi)(x-hn-h2)(x-hn-\-3)

Ajoutant ces égalités membre à membre et faisant croître n indéfiniment, on obtient la relation proposée.

Fee^ilt. — Recueil, 4

5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

5. La relation est connue pour |ui = i , et se vérifie pour fx = 2 au moyen de la règle à suivre pour la multiplication de deux séries convergentes. Afin de la démontrer généralement, supposons-la vraie pour l'exposant [i. En posan^ pour abréger,

__ fx(u-4-l)...(f*-h/>~ l) fl — ,

on a

(i H- j:)~v-z= I — a.j: -+- a^x^-\- . . . 4- ( — i)Pap.rP -\- . . ., et pour fx = I ,

(l +a:)-' = l — .r-h .r'-f-. . .-i-(— \)PxP'^

Le produit des premiers membres de ces égalités est (i -h jc)""^ ''■*■' \ et celui des seconds membres a pour terme

général

(— i)''(i -4- a, H- «2+. . .4- ap)xP,

On a d'ailleurs, comme on sait,

par conséquent

, , (tA -4- l) (a -f- 2). . .(fx H-/?)

Ainsi la relation proposée subsiste quand on y remplace j^k par fx -h I ^ elle est donc générale.

Le mode de raisonnement qu'on vient d'employer fournit aussi la démonstration immédiate de la relation (i).