Par hypothèse, la somme de la série demeure la même

SOLUTIONS. 5l

quand on remplace par des zéros les quantités h^^ h^^ . . . ^ cette somme est donc égale à

a — X 11 en résulte qu'on a

a — X X CL — X XX H- h\ a — .r.

a a a -h hi a a -{- h^ a -^ h^

X X -\- hi X -^ hi a — X

a a '\- hx a -\- hi a -\- h^

Or

a — X X -\- hy a — x x -\- h^

__ HT I — ) nr I — : - 9

a -\- hi a -{- hi a -\- h^^ a -^ n-x

et ainsi de suite. Si donc on pose généralement

il vient

-\ [l — a, -+- a, (i — aj) -+- a.a, (l — a.^) H-...J,

ce qui est évident.

On voit par là que la série proposée n'est autre chose qu'une transformation de Tidentité

l = I--ai -h a, (l — a2)-l-a,aï(l-— a,) -+-.» .,

où les quantités «j, a,, «s? • • • représentent des fractîouo quelconques. .

7. Le rapport du terme de rang n 4- a au terme précédent est égal à

et tend vers a: quand n croit indéfiniment. La série est donc

5jj calcul différentiel.

convergente ou divergente selon que x est inférieur ou supérieur à i . Dans le ca^s où x = i , le rapport précédent peut s'écrire

et Ton sait qu'alors la série est convergente ou divergente

selon que lim Ji 1 c'est-à-dire b — a^ est une quantité

plus grande ou plus petite que i . Si b — a est plus grand que I , la série rentre dans la formule du n° 6 et a par con-

sequent pour somme -7 •

Si Ton a à la fois x = 1^ b — a = i,Ia série est manifestement divergente.