Les inégalités (C) peuvent s'écrire

sm(a -\- h) — sina h tang(fl -t- A) — tanga h sina a tanga a

ou bien

, h I h\ ^h , a sin — ces 1 a H \ <C— sina,

^ atangA[i -f- tanga tang(a -+- A)]> A tanga;

•et sous cette dernière forme elles sont évidentes, car on a

sin - < -» a cosfl -<; sin«, tangA > ^» a[i -\- tang^^i) > tanga.

Elles s'établissent aussi très-simplement par la Géométrie. Cela posé, de l'identité

sin'j: \ / sin^.r sinmx z= m smjr / i \ / i

sm' 2 — m

on tire

(l) SÎnz = /Wsin— (l — "i) (l — «a). . . /> — «/n-l\

^n faisant

sm- — m

mx r=r 2, = w„.

sin'/î —

Supposons l'arc z compris entre les valeurs ni: et (7i-|-i)7r, n étant plus petit que m\ on peut prendre m assez grand

pour que — soit moindre que - • Par suite, et en appliquant

— soit moindre que m ^2

le premier lemme, on a

d'où

(«, — l)(i/2— l). . .(l/„ — l)(l — ««-^i). '•(^'-Ujn-\

et enfin

(-,)-sin.<(-.^(.J)(.-^.)

Le second lemme conduirait de la même manière à la deuxième inégalité.