Le numéro précédent fournit les deux inégalités

(—1 )''sinz<P, (— - i)"sinz>Pcos*"— *

OÙ l'on a

m représentant un nombre impair quelconque aussi grand qu*on voudra. Or, si Ton fait croître m indéfiniment, P a

une limite (n° 15). D'ailleurs la quantité variable cos" — »

toujours moindre que l'unité, s'en approche indéfiniment.

car on a

ces"" — = I — sin' — ) > i — m sin* — > m \ m/ m

ou

, sm* —

ces*'" — > I —

et le second membre de cette inégalité est aussi voisin qu'on veut de l'unité, pour m suffisamment grand. Il suit de là que ( — i)"sin5 est compris entre deux quantités variables avec m et ayant la même limite 5 on en conclut donc

{ — ij^sin^ = limP,

ou

Pour tirer de là cos<^, il suffit d'observer qu'on a

^L (2«-l)'ir'JL (2n)'.r'J '

«n'=-(-JSr)('-|J)(^-|^)-{'-(^]-»

d'où, en divisant ces deux inégalités membre à membre.

ces

SOLUTIOliS. 69

23. Si Ton déduit des relations proposées l'expression de cos(x -h nh) -+- isin{x-hnk) =:(cosa:-f- /sin.r)(cosA-i-/sinA)",

on trouve, en posant pour abréger 21 sin- = a, cosa? -t- / sin j: -f- f ) a ces Ix-i — j 4- ' sin ( x ^ — | 1

-h(^ja»cos(ar-f-3-|-f-sinf:c-4-3-j -f-,..

= (cosjr4-/sin.r) j i-f- f |attH-( } a'tt'+ ( J a'tt"-*-... U

u désignant le binôme cos — h / sin - •

jt 2

U suit de là qu'on doit avoir Tégalité

(cosA + /sinA)"= (i -h aw)", ou bien

relation qui est manifeste.