Posons

u=:\ xP COS (a -h poi)^ v = \ jcPsm{a-hpa);

on tire de là

U -^ iv = \ xP(cosa •+- i sina) [cospct + / sinpa.)

= (cosa -f- isina) > [or (cos a H- /sina)]/*.

cosh -1- / sm^ = I H- 2 « sm - I cos — h ' sm — ) >

no CALCUL DirPÉREWTIEL.

La dernière somme est celle des termes d'une progression géométrique, et elle est égale à

a:»+' (cosa -f- / sina)"-*"* — i X (cosa 4- / sina) — i

expression qui peut aussi s'écrire

jjr»+«[cos(/i -4-i)a + zsin(/t -4-l)a] — ij («cosa — i — xi sina)

I — 2«C0Sa + x*

On en tire, après l'avoir multipliée par cosa -f- i sina,

x'^'^cos{a-\-n(ii) — ar""*"*cos [«-*-(/! -4-1) a] — xcos(a — cit)-\-co%a

I — 2^ cosa -+- x^

a:*^*sin(a-4-«a) — j;"-^'sin[«-f-(7i-+-i)a]— j:sin(a — a) 4- sina

I — 7,x cosa -h «'

Si Ton fait croître n indéfiniment, u et {^ n'ont de limite finie que lorsqu'on suppose a: < i • On a, dans ce cas,

cosa — xcosia — a) ,. sina — xsiaia — a)

llïnttr=: ^^ — ^, limi'= ^ — ^ .

I — 2 JC cosa "4- «' I — 2ar cosa -\- x^

Remarque. — Le dernier résultat conduit à celui-ci :

j^sina . .

= JTsma + ...-}- «'*sm2/îa

î — 2a: cosa -f-j:'