Soit d'où
dx arlogxlogjjr'
et généralement
dr X logo? loga ar . » . log»-., J
d.T^ (Sx — 4)*
dx i*^ *
dx a -h b cos jr
dx cos a:
^/y- cos'j:
dlr sin*j?
dx I (fl»-ft')^ é/x 2 a-h b cosx
— — x*^^* I cosorlogx H j «
df/ I /x -h a\^
dx X \x — a )
S0LUTI017S. «3
k6. Les trois parties dont l'expression se compose ont respectivement pour dérivées
5 cos*:c 1 5 cos*^ 1 5 cos'x
dont la somme se réduit à — :— •
cos*j:
,- djr acosxe •*"'
dx
in^:r(i — ^ •in*) [i— (i^ «i-'j J
2sm
d.r a '\- bcosx '\- CC0S7.X
. 49. La fonction Xn tend vers une limite finie, car en désignant par ^1, as,..., a^ les exposants de x dans Xi,
Xj, . . . , a:„, on trouve
V pqj a, / I I \
/7^ \ pq p'qy
V pq p'q' p^-'q^^-'j
La limite de a^, étant ? il en résulte que Xn tend vers
xf*^'~\ dont la dérivée s'obtient immédiatement.
50. Il suffit de différentier par rapport à x. On obtiendrait de la même manière la relation (i), en partant de la relation (2).
51. Qu'on fasse x = dans les relations du numéro précédent, puis qu'on y remplace h par x\ en diflerentiant les résultats obtenus, on arrive aux formules à démontrer.
52. Il suffit de différentier deux fois de suite la relation qu'on trouve en prenant les logarithmes des deux membres de réquatîon donnée.
53. On remplace a para: dans Téquation (i) du n** 13 et Ton opère ensuite comme dans le n° 52. Si n croit indéfiniment, on a deux séries convergentes dont les limites sont respectivement
I 8 I - — 2 cot 2 7-, ^ -+- 4 cot'2 j:
SIIÎ. — Dérwéés d'ordre quelconque.
û*- •^=(~^)V(/'-0(/' — 2)...(/?~-«-hl){a~6a:)/-
- = «" cos ax A- n-\
-— = «'» sm ( aa: -h /2 - 1 .
i + C0S2.r 5o. ces' a: =r
d*où
Jny j ^n COS 2 a:
On déduit de là
; =: — 2"'"' cos \'>,X -\ | = 2
"""* sin I 2 j? H tr )
57. On sait comment, au moyen de la formule de Moivre, on exprime les puissances entières de sino: et de cosx en fonction des multiples de Tare x. Les résultats auxquels on
parvient peuvent s'écrire •
(i) 2V sin'Pa; = ( — O^Vl— 0* ( Y ) ^^^i^P — ^^)^^
h=o A=tp4-1
(2) 2V+«sinV+<x==(— i)pY(~i)*P^"^' jsin(2/?^-I — (3) 2Pco&Px = \ l^\ cos{p — 2,h)x.
La dernière formule donne, en ayant égard au n** 55,
Si la fonction proposée était sin^'o?, les relations (1) et (2) conduiraient à deux formules analogues, Tune répondant au cas de l'exposant pair, Tautre au cas de l'exposant impair.
