On a identiquement

e"[cos{bx H- c) -f- isïn{bx -4- c)] =: c««+'(4»+0.

Appelons u le premier membre de cette égalité^ il vient

^ = (û + biY ^'+K*x+c).

Posons

a h j-=cosa, j-=sma;

la dernière égalité peut s'écrire

- — z= (a' H- b^y[cos{na -+- /sin/ia)]

X [cos(6j:-|- c)-4- fsin(èj:H-c)]c«*.

Si Ton remplace maintenant u par sa valeur et qu'on identifie les parties réelles dans les deux membres, ainsi que les parties imaginaires, on trouvera

d"\ef"cos(bx-{-c)] , , , ,?

— L ^ LL==(û2| b'Y e" cos{bx -h c -{- na),

eue

d'ie""* sïnlbx^ c)^ -

-L ^^ ^ ^^ =^{a^-\-b'fe"ûn{bx-^c-^noL).

62. Si Ton désigne par m et ^' deux fonctions de x, on a, d'après le théorème connu de Leibnitz,

d^usf d^u dv d'^-^u nin — i) d^v d'^'-^u

djc^ daf" dx daf"-^ 1.2 dx^ daf-'^

En l'appliquant ici, on trouve

d'^y d''[a-^bx)* d'^-Ua-^bx]^

dx*" dx^ rfjc"-» '

et en vertu du n° 54.,

X I 'îû -h (— -h I ) ^J? j (« -I- bjc)*

63. En appliquant le théorème de Leibnitz (n° 62) et supposant que p n'est pas un entier inférieur à tz, on a

Uy (/7-.i+i)(/.-//-f-2)(i-:r)» '-y

avec la relation

Si n = p^ l'expression devient