aA- — 1) /i — x

Kk =

(2/1 — OC^'^ — 3).-. .(2/1 — 2X'-f- On peut encore ici appliquer la relation du n° 83.

par suite (n^69)

^J / V—, / \i . sin/2cpsin»fl>

OU 1 on a

X ir

arc tanc - r= ©.

^, flfr sina sina

dx I — 2a:cosa-+-x* (i — P^)[i — q^)

en posant

cosa -f- I sina = />, ces a — / sina = q.

Fee!IET. — Recueil. 6

On tîre de là

djr i I p q

dx ii\i — px I — qx

et par suite

d'*x ^ I r rf«-'(i— /?j?)-' d'^^ {i — q x)'-^~\

'dx^ "" Ï7 L^ dx^-' ^ dx^' J

OU bien (n^ 54)

d*x 1.2. ..(«-— i) /?"(i — <7a?)"-- ^"(i —px)

dx^ 2/ (ï — 2a?cosa -4- x^y

Si Ton fait

I — j?cosa = p cosO, xsina r=: psinS,

Texpression

/?"(l — qx^^ — ^"(l — pxY

se réduit à

2/sin/z(ce -1- 6)p",

et, par conséquent,

d^r , , sin/z(a + 0)

dx"" ^ ^ H

(l — 2a:cosa H- a:*)*

75. Premier cas, m pair. La méthode de décomposîtîoD des fractions rationnelles donne la relation

^m ^m Awa"'* \x — a X -^ a

CCS h « sm —

x-^ a ces — / « sm

CCS ^ sin —

mm

X — a ces h la sin

Posons

X — a cos

m cos^A = — —

\x^ — lax COS h a' |

. T-hre asm

or* — 2 ax COS '- -H a'

il vient

du.

^ COSr2-^-4-(/l+l)(pA 1.2. ../l y « L ^ J

2 Lr* — lax COS h fl |

V rn J

Deuxième cas, m impair. On obtient encore, au moyen de la décomposition des fractions rationnelles en fractions plus simples.

xf" — a'" ma"-^ x — a

cos h i sin

X — a cos lasin

^2—± cos i sin

mo'"- '^

a cos h ta sm

84 CALCUL DlFFÉREKTIEL.

En faisant une hypothèse semblable à celle du premier cas, il vient

dx^ mcf*"^ {x — a)

cos

( x^ — 2âarcos h a* |

76. En opérant à peu près de la même manière que dans le numéro précédent, et adoptant les mêmes notations, on trouve pour m pair

^' ( x^ — 7.axco^ ha'J

et pour m impair,

cir» ^ ^ moT'-P-^ [x — a)

fHrX

^ [x* — 2aarcos \-a^

m^ /-^AM ,^J ^^ d*Y h" d^Y

air 1.2 ax' i , 2 . . . w a«c"

Or on a

l 2 C Xr

Multipliant ces deux dernières égalités membre à membre et prenant le coeflScient de A", on trouve qu'il est égal à

-j^ s'obtiendra donc en multipliant cette quantité par

La méthode qu'on vient d'employer peut servir dans plusieurs autres cas. On arriverait d'ailleurs au même résultat en appliquant la relation du n° 83.

78. ces {jc^)'\-i sin {x^ ) = e'*' ; par conséquent, en vertu du numéro précédent,

//''cos(x') .J'*.sin(«')

Remplaçant les puissances de i par des exponentielles

au moyen de la relation i^ = e * , le second membre de l'équation précédente pourra s'écrire

g(J CÂLCn. DIFFÉ&EHTIEI..

On déduit de là

X cos I x' H ir j -h . . . .

Il suffit de remplacer les cosinus par des sinus pour ob-

. ^sin(x*) tenir ; -•

djf

79. Après avoir diffërentié un petit nombre de fois , on s'aperçoit aisément que la dérivée «'*"" de j' est de la fonne

on peut donc poser

D'un autre côté, x ne recevant que des valeurs positives, on a la série convergente

d'où, en la différcntiant n fois, ce qui donne encore un résultat convergent,

(2) j^ =:(— i)"(i»c-*— 2"<f— '^-3'•<?■-"-~...)• 0n a aussi

Multipliant les équations (2) et (3) membre h membre et

SOLUTIONS. Sy

observant ^u'en vertu de la relation ( i ) le produit des seconds membres ne doit renfermer qu'un nombre fini de termes à exposants positifs, d'où résulte que les termeis affectés d'exposants négatifs se détruisent mutuellement, il vient

dx'*

(Laplace.)

80. La relation est évidente quand 71 = 1. Afin de l'établir généralement, prouvons que, si elle existe pour le nombre n , elle existe aussi pour le nombre n-hi- Or on a, en différentiant le$ deux membres de l'équation (i),

f'D''-^»ttH-DcD"tt