i**Ona et par suite

(l) (D, — /i)(.r«D;j) =a.«+'DrV'

Si 7z = I , il vient

Or

d'où

D^jrzzzDtjrBtX,

I)tX = xBxjr;

donc

Pour 71= 2, l'équation (i) donne

et, d'après ce qui précède,

^Di j = (D, -^ 2) D, — i) Dtx; et ainsi de suite.

83. Cette relation se vérifie immédiatement par le calcul pour les premières valeurs de n. Afin de l'établir généralement, supposons-la démontrée pour une valeur n quelconque et cherchons à refconnaitre qu'elle subsiste pour la valeur w-f-i. En difiérentiant les deux membres, on obtient dans le second, pour le coefficient de y*("+i-*) (a:'), J 'expression

dans laquelle le multiplicateur de (2ar)"~**+* est

(/Z -h l) [(/l -1- l) — l]. . .[(72 -f- l) — 2iî- -4- 1]

On voit que la loi de composition des termes du second membre dans la relation proposée subsiste encore quand on y change « en w -|- i •, la formule est donc générale.

On peut appliquer cette formule aux questions des

n*»' 67,69,72, 73 et 16.

84.. En vertu du numéro précédent, le terme général du développement de — ^^ ' est égal à

(n — i) (fi — 2)... (72 — 2k) 1,2. . ,k

On a ici

pO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et par suite,

Pour faire apparaître le produit

qui figure dans le second membre de la relation proposée, observons qu'on a

(2rt — l) (2/2 — 3) (2A'-h3)

2*-i.+ip

2'*— «-Mp

On aura donc, pour le terme général du développement qu'il s'agit de former,

(/.-l)(/»^2).,.(/Z^2/) îi±l

ou bien

/ I )«-*-« - ( , '^ ) CCS»-»*- » a sin'*+» a,

Ce résultat, rapproché de la formule connue (n° 20), sin/ia == /i cos"~*a sina — ( ^ j cos"""*» sin'a + . . •

-+- (— i)M ,'* ) cos"-'*-'asin'*+«a-f-. . . + . .. démontre immédiatement la relation proposée.

Cette importante relation, attribuée ordinairement à Jacobi qui Ta donnée en 1 826 dans le Journal de Crelle, appartient en réalité à Olinde Rodrîgues ( Thèse sur l'attraction des sphéroïdes, i8i5). M. Hermite en a présenté une généralisation très -remarquable dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, année i86d.