D'après le théorème des fonctions homogènes, on -i

mu = x,tt, -t- j'iUi -h 0^3 Wj,

Soit H le premier membre de Téquatîon (1). Si Ton multiplie respectivement par a:,, Xj, 3:3 les colonnes de ce déterminant symétrique et qu'on remplace chaque terme

. SOLUTIOUS. g5

de la dernière par la somme de ceux qui appartiennent à la même ligne que ce terme, on trouve, en vertu des équations (2),

«Il «I» «I

Opérant sur les lignes du nouveau déterminant comme on vient de le faire sur les colonnes du premier, il vient

[m — 1)11, [m — i)aj mu

d'où résulte la relation (i).

Il est évident qu'on obtiendrait une relation analogue en procédant de la même manière, si le déterminant H était formé avec les dérivées secondes d'une fonction homogène u d'un nombre quelconque de variables indépendantes.

Ce déterminant, utile dans plusieurs questions d'Algèbre et de Géométrie, est dit le déterminant de Hesse ou le hessien de la fonction m, du nom du géomètre qui en a fait le premier de remarquables applications. (Consulter, à ce sujet, le Journal de Crelle, t. XXVIII et XXXVIII. Foir aussi Sylvester, Journal mathématique de Cambridge et Dublin, t. VI.)

dxdfdz

(i -+- 3xrz 4- x^y^z^)e*^*.

i5xr

dx^dy^

d'u __ ^ I — 5(a:'-f- J*) — 6{x* -^y*) -\- 5ix*y^

û6 CALCUL DIFFÉUENTIEL.

-L JL

— yz[a^ — x')-.

En représentant par y le second membre, on a

(«. ;,.)T ^ = (a. -y.)' àf = ( «, ^.)i ^ = „; Ox ^ àr àz

par suite,

- -'- à^u du

^ -^ ^ ^ ' dxàyàz àz

et enfin

Le premier membre de cette équation ne changeant pas quand on y remplace x par^, y par z et z par x, il en résulte la démonstration demandée.

On peut observer en outre que, si Ton pose

ar = asina, x = asinp, z = «cos7, l'équation (i) devient

it =r û» sin (a H- P H- 7),

d'où

'du\ fdu\ /du\ ( d*u \

^dx 1 \dy

(Êl\ (Él\ (^\ (^\[^\(^\

\à^) \àx) \àz) \dx)\dx)\dz)

ce qui n'est autre chose que la relation (2). 104- . Soit

dîfférentîànt cette équation successivement par rapport à a et à S, en y considérant x et j- comme fonctions de ces variables, il vient

df . ^ôf , ox ôy

" ° = âi'*

OU, ce qui est la même chose,

La relation qui lie 6 avec j: etj- donne de même

Si Ton pose

z= Sixi -f- S^jl, I = 61. j:i -\- g^Xff»

«x^j — ay6j.=:= A,

on tire des équations (i) et (3)

Axi = — a;., Ajré = al-,

d'où résulte la relation (i).

Celte relation peut s'écrire

et Ton reconnaît immédiatement sous cette forme, en effectuant le produit des déterminants par la règle connue, qu'elle n'est autre chose qu'une identité. Ce produit est égal, en effet, au déterminant

Si ^'oL 4- ^ y a 61- x'i 4- 6^ ji

dont la valeur est x, à cause des équations [n) et (3).

La proposition exprimée par la relation (4) subsiste pour un nombre quelconque de fonctions a, 6, ...,00 d'un

Fretibt. - - Recueils 7

g8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

même nombre de variables indépendantes Xy jy . . ,, t. On: le vérifie absolument, comme on vient de le faire, eu s* appuyant sur les résultats obtenus lorsqu'on différenlîj, par rapport à, toutes les fonctions a, 6, ...,&), les relations explicites qui expriment la valeur de chacune de ces fonctions au moyen des variables indépendantes. On a vu qu'il n'est pas nécessaire de connaître ces relations; il suffit de savoir qu'elles existent.

Ce qui précède conduit à envisager des expressions de la forme

/ Oif

Cette expression J est dite le déterminant Jonc tionnel des n fonctions a^ €^ » . ., ot) de n variables indépendantes. La considération en est utile dans un grand nombre de questions. On la nomme aussi le déterminant de Jacob i ou le jacobien des fonctions indiquées, dU nom de l'illustre géomètre qui en a donné le premier les* propriétés et fait connaître toute l'importance [De determinantibus functionalibus \[Journal de C relie, t. XXII );

S V. — Différentiation des fonctions implicites.

dJc

{a -+- j) [a.T -\-bx -^r xy) — x

m ■ ■ ■ lÉ ..^^ ■ ■ ■ ■ ■— ■ > laiMiii ■ ■ ■ ■ ■ ■ a^i» ^

y — {b + x) (ax + by -ir xy)

ijr^

dy dx