Considérant le cas général, on a (n

D^F(z)=:F'(z)D^z = r'(z)(/z)D,z; donc

D;F(z) = D^[F(z)/(z)D,z] = D,[F(z)(/z)'D,4 On aurait de même

D/F(a) = Di[F'(z)(/z)'D.z], et enfin

d;f(z) = Dr^F'CO (/^r^x 4

Cette formule, donnée par Duhamel, lui a permis de démontrer d'une manière très simple la série de Lagrange.

S VI. — Déi^eloppement des fonctions en séries,

126. 1° Il suffit de poser h=: — x dans la formule (i) pour avoir la formule (2), où 61 représente un nombre compris entre o et i .

2** Soit fait

d'où

L'équation (2) peut alors s'écrire

F(A— .r)=zF(A)-a:F'(A — ;r) — ...

OU bien, en posant h — x =^ z. ^

F(2-f-a:) =F(z) + jrF'(z) -4-. . .

+ — FW(z) + — — — - TW{s -+. 9.r),

résultat qui ne difl'ère pas de la relation (i). 127. On pose, dans la série de Taylor,