En posant

on reconnaît (n^ 60) que la série de Maclaurin est appli* cable à cette fonction, le reste de la série tendant vers zéro, quel que soit A, à mesure «que le nombre des termes augmente indéfiniment. On a donc

e**^®»'COS(Asmar) =H C0SJ7H C0S2J?-H . . .

cos/z.r

On trouve également

fit fii

ghco%x gin ( A sino: ) = A sina: h sin 2.r H r sin 3a: -4- . . .

sia/?x

On peut observer que les développements qui précèdent résultent immédiatement de la relation

I I .2. . . It '

en y remplaçant z par A(cos0 4- 1- sin6).

13i. On vérifie aisément (n® 73 ) que le reste de la série de Taylor, dans le cas de arc tang(a: -f- A), tend vers zéro à mesure que n augmente indéfiniment, pour toutes les valeurs de X dont la valeur absolue est inférieure à Funité.

104 CALCUL DIFFÉHENTIEL.

On a donc le développement

A' arc tang(^-f- ^) = arc lang.r -hhsin'ff sin'^ sin2f

-f- ( — i)"~* — sin"osin/?cp -h...

cù

y = arc tang^.

En faisant h -~ — x, on trouve la série (1).