On a

jr=l0g(l-H^^)^+l0gj

[1+ — ^-— rr

Pour JC <^ I , log ( I -h X* ) ' se développe d'après la série de Maclaurîn, et log 1 1 H en série ordonnée

suivant les puissances entières positives et croissantes de la quantité '- • Ces développements demeurent conver-

gents quand on prend tous les termes avec le même signe, et il en est de même pour le développement en série ordonnée par rapport à x d'une puissance entière positive quel-

conque de ^\ donc (n** H)

j = A,.r -H Aj;r» -f- Aj^ -h ... H- k^a^ -h . . . .

Les quantités A„ se déterminent simplement par la méthode des coefficients indéterminés. On a en effet

dy . — L

~ r= A, -h2A,:r-f... .-H/îA^-r^-^-h. . .= (i-ha:») ».

Or

la quantité A„ est donc nulle toutes les fois que n est pair, et, pour 72 = 2p -f- 1 , on a

par suite,

Ce résultat reproduit le développement de arc sin z quand on remplace x par iz.