On a

p'(arcsinar)' fA*(arcsinj:)*

et cette série demeure convergente quand on y prend tous les termes avec le signe -f-. D*un autre côté, 2p désignant un nombre entier positif, on a (n° 134)

(arc sin.r )V = x^'p ■+■ a^a^P-^^ -+- atX^P-*-* -f- . . . ,

les coefficients a,, ^4, . . . étant tous positifs et la série convergente. Il suit de là que le théorème du n** 11 est ici applicable et que la fonction j^ se développe en une série de la forme

/ = I 4- A,x^ 4- A4 a:* -h Ae A-* -f- . . . .

Les coefficients de ce développement devant être identiques à ceux que fournit la série de Maclaurin, il en résulte (no 86)

,^, fx'(F'-^')---[F'-(^"-a)']

Une marche tout à fait semblable donnerait

5= La: — L-IL — -^:c»

ln+l

Ces remarquables formules sont dues à Euler.