Comme on a
x X I sin*.r i,3 sin'ar
y = . ces j:, -: = 1 H r— . , ^
smo: sino: 2 3 2.4 5
il en résulte (n** 11) que la fonction paire j" peut se développer en série convergente de la forme
J- = I -+- a, h a^ ' , + . . . -f- flî«
du moins pour les valeurs de x qui ne surpassent pas - •
^-~ I 5 différentions 2«-f-i fois l'équation
X sino? = a: coso:;
il vient
sm I a: H 7r| j H- (2/ï -4- i)sm(x-|- /iir)j^ -H...
/2/H-i\ . / 2/1 — 2» 4- I \ ,. , -f- ( j sin(;rH tt j jrCV) -t- . .•
4- (2/n- i) sin ( jr H- - ) x^^^ H- sinar^C»*^») =rarcos ( ar H îrj H- (2/1 4- i)cos(jî -|- /ïtt).
d*où Ton tire, en faisant x = o,
139, Si Ton pose
la question revient à démontrer que Ton a
On déterminera les coefficients relatifs au développement de la fonction paire désignée par z, en différentiant a/iH- I fois les deux membres de l'équation
ce qui donne
=zx(e* — e-') H- (272 H-i)(e»H- <?""'), et d'où Ton tire, pour x = o,
\ 2 y \€/xv . \ 2p j \dx^rl «
En rapprochant ce résultat de celui du numéro précé-
dent, on en conclut Ja relation (i), ce qui démontre la proposition énoncée.
On aurait pu la déduire aussi de l'égalité
e^ix ,
Les nombres B„ sont appelés nombres de Bernoulli, du nom de Jacques Bernoulli qui les a le premier introduits dans l'Analyse [Ars conjectandi) . Euler s'en est occupé souvent^ il a montré que ces nombres jouent un grand rôle dans plusieurs questions, notamment dans la sommation des séries. Les dix-sept premiers ont été calculés par lui, d'après une formule qui permet d'obtenir l'un d'eux quand on connaît tous ceux qui le précèdent ( Calcul différentiel, II* Partie). Laplace a donné l'expression générale de cbacun de ces nombres indépendamment des autres (Lacroix, t. III) .
Voici les valeurs des neuf premiers nombres de Bernoulli :
T. %ï 11—7 «—^^''7 TK 43867
2730 o 5io 790
HO. Les formides du n** 22 fournissent les suivantes :
log(sin»j:) = log(a:^)-+-logM 1— ^j -t-...
et
log(cos«ar)=:logM I— -^ j M-...
, if 4^' y}
-4- log ' I } H- , . . ,
d*où Ton tire par la différentiation
I ix IX 2.r
cot j: = —
