On trouve, en recourant aux imaginaires

dr dy t d^r , t fd^r 2 t dr\

dx dt i dx^' i\dr i ^ i dt )

d^Y ^ay d^Y , „

I — / tang r

dx dt dx^ \dV dt I

d^Y d^ Y ^ dW

dx^ \dO di^

dt)^ '

j 16 CALCUL DIFFÉREPîTIËL.

et, par conséquent,

152. La relation (2) permet d'exprîmer x en fonction de y et donne

(3) tang(:r — 7) = ——j^ tangj^ = ^ tangj,

en faisant r = u.

On tire de là

/ . N cos' r -h p sin' j^ cos*7 -h fx*sin'/

Pour calculer sinx, on met l'équation (3) sous la forme

.r =7 -f- arc tang(fx tangj),

d*où Ton déduit

sinj fxcos^tang^

sm j: = -T==.== H — p====e— 5

^i -f- p' tang'j v^i +p^tang»jr

et, par suite,

(Ir. dy

y^i — X* sin^A- ^i — (i — IX*) sin'j

La substitution (2) employée ici est appelée transformation de Landen, du nom du géomètre anglais qui l'a fait connaître [Philosophical Transactions, 1771 et 1775). Elle joue un rôle important dans la théorie des fonctions elliptiques.

153 . dx :— ces ^ dr — r sin ^9, dy = sin ô dr -h reosÔ rfô ;

SOLUTIONS. ÏI7

xdy — y dx-=. r^dQ, dx^ -h dy'' z=z dr* -h H dh^ ;

et, par suite.

dx -^ r'

-gy (-^:)

15*. I =^^:-co80 — rsinôr—? or=:-T-cos6f —r sinô — ,

do: d^c (// oy

dr . ^ âe àr , ^ ^âe

0= -r^smÔ -f rcos9 -:— 9 I =r-r-sin6 -^ rcosd —-;

ox ox ôy oy

donc

du du ^ du sinô

T- = T- C<>S6 — -rr 1

(/j; dr 0$ r

du du . ^ du cosQ dy dr dO r

On déduit de là

du du du

^dy^^dx~dê'

Cette transformation s^emploie dans la théorie des planètes.

du du X d*n d^u x^ du ( i j?'

dx dr r dx"^ dr"^ r' dr \r r^

on aurait de même

d^u d^u y^ du f i y^

dy^ dr* r* dr \r r^ j ^

et, par suite,

d^u i du dr^ r dr

Cette équation se rencontre dans Tétude du mouvement des iluides.

1 l8 CALCUL DIFFÉREXHTIEL.

.„^ d^n 2 du

dr^ r dr

j M-f au .A ^'* cos H du