in0 — H

dj //r /^ d0

ô^u . ^^dUi cos^Q d^u cos'ô du ôy ôr' r^ dO^ r dr

1 sindcosd

lôcosô/ d^u du\ 7^ y drde~'dô)

• d^u , Pour avoîr-r— j9 il suffit de changer dans Téquation pré-

cédente j^ en o: en en — h 9, ce qui donne

djc'

sin*0 à^u sin'ô du r» dô» ' r dr

2 sind cos

e/ d^u du\

ydrds de)'

et par suite

d^u dx^

d^u d^u dr' "" dH "^

ï d^u I du

r' dO' ' i' dr^^'

158- Si Ton désigne par s une inconnue auxiliaire telle qu'on ait

5 = rsinO,

y = ssiUf, z = s cos f^ f = rsind, jr = rcosd.

En ne considérant d*abord que les deux variables j^ et 2, il vient, comme dans le numéro qui précède,

, , d^u d^u d^u I d^u I du

^ ' dx^ dz^ ds' s^ âf s ds

SOLUTIONS. IKJ

Nous trouverons de la même manière

d^u ô^u d^u I (Vu 1 du

La première équation du dernier numéro donne encore

\ du \ du cot$ du

En ajoutant membre à membre les équations (i), ( 2) et (3), il vient enfin

d^u dx^

d'u dz^

I d^u r^ dO'

â^u dv'

du dr

cot9 du r» de

Remplaçant s par sa valeur, on trouve

dr* sin*ô df siiiô dQ

Cette équation, due à Laplace, est d'une très-haute importance dans la théorie de l'attraction et dans plusieurs questions de Physique.

§ VIII. — Élimination des constantes et des fonctions,