Posons, pour abréger

^i — ^'sin^fl = ces b ; il en résulte

Difierentiant l'équation proposée, on en déduit , . , coso; sin r dy -h sin x ces r dx

(2 COS6=r : ^ ,^L—

' sinx cosjr djr -^ cosx siny dx

et, par suite,

sin X cosar dr 4- sin r ces r dx

cosazzz ^ ,, '

sinx cos jr dy + ces a: sm/ dx

On trouve de plus

• , IL (^y' — ^') ( cos'j — cos*^)

sin o rrz - — 7— — ■ — — i —

( sm X ces/ dy -4- cos x sin^ dx)^

. j (sin*.r ^» — sin^ydx^) (cos'^ — cos'x)

sm Cl — — , , •

(sma: cos^ dy -4- cos or sinydxy

Substituant dans l'équation (i) et réduisant, on obtient 1 équation différentielle

VI — e* sin'/ \/ 1 — e^ sin'x

Il est facile de reconnaître qu'il faut prendre le signe dans cette équation, lorsqu'on suppose cosA^ o. Portons

en eflFet dans l'équation (2), à la place de ^1 la valeur

v/i — Éf'sin^j:

il vient, après une transformation évidente,

, ^i — c'sin'^ i/ 1 — é^ sin* j: — e^ smx smy cos or cosj^

cos6 = -^— — r— •

I — tf'sin'arsm*^

Or le numérateur sera positif si l'on a

(i — e^ sin^j) ( I — e^ sin* x) > c* sin'j; sin'^ cos'j: ces*/,

ou bien

e^ sin'a: sin'j( i — ces* x cos*j) — é* (sin'a? -h sin*j ) H- i > o ;

et cette inégalité a réellement lieu, car le premier membre peut s'écrire

(i — é^ sin'o: sin*j)[i — é^[\ — ces' a: cos^/)],

résultat nécessairement positif, puisqu'on a e<[ i . On verrait que le signe — dans l'équation (3) convient au cas où l'on suppose cost <^ o.

En rapprochant l'équation (3) de la proposée, on obtient une importante propriété des fonctions elliptiques.