Fig. 8.) Soit fait

le plan principal ÂBC étant perpendiculaire au plan sécant, on a

DN =: - r , EN -.- [€i.r^ r» ) % FDE = ^ ( ^ .r — a' ) ».

Le maximum de la dernière expression répond à

216. {Fig. 9.) Si Ton pose AC = a, CD = i, CN = x, BP représentaDt le grand axe de Tellipse, la condition du

maximum est donnée par l'équation

Les racines seront réelles si Ton a

c'est-à-dire lorsque Tangle du cône aura moins de 3o degrés.

Si les racines ne sont pas réelles, il n'y a pas de maximum, et la surface de l'ellipse augmente à mesure que son plan se rapproche de la base.

On aurait pu traiter le problème en prenant pour inconnue l'angle (f que fait le plan sécant avec le plan de la base. En désignant par 2 a T angle du cône, la condition du maximum est alors donnée par l'équation très-simple

sin 2 f = 2 sin 2 a ,

qui conduit au résultat déjà obtenu.

217. Soient S la surface totale d'un secteur appartenant à une sphère dont le rayon est x, ^ la hauteur de la zone

SOLUTIONS. i37

qui lui sert de base, -^^a^ le volume donné 5 on a les équations

Posant

îl s'agit de déterminer les valeurs de z qui rendent maximum ou minimum la fonction

On trouve

d'où les deux solutions

Z*=:IO, Z»z=2.

On a donc les deux systèmes de valeurs

j? = a j/io, J = gV^io, et

( ar = a^2,

La dérivée seconde apprend que le premier répond à un minimum et l'autre à un maximum.

218. Soient x le rayon du fond du vase, y celui de Touverture, z la hauteur, « Tangle de cette hauteur avec

l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Tarète, et -=- le volume donné; on trouve

(i ) /' — x^=za* tanga ,

2i'sina =x^ — ^^(^ — sina),

en désignant par cr m* la surface dont on cherche le minimum. On déduit de là

jdy — xdx{i — sina) = o, jr^dx — x^dxzzz o,

d'où résulte l'équation

x[\ — sina) = o,

satisfaite par x = o, et aussi par o: = (i — sîna)j^. Négligeant la première solution qui répond à un cône, on tire de la seconde, combinée avec l'équation (i),

^cosa(3 — 3 sina -h sin*a)

et, par suite, x et um*.

Le résultat obtenu répond bien à un minimum, la surface du vase pouvant croître indéfiniment.

219. Soient O le centre du cercle, r le rayon, a l'angle que fait MP avec le diamètre mené par le point P; si l'on pose

on a, pour l'expression u de l'éclairement reçu par la

surface,

k sin a

u D'ailleurs

r* = jp^ -t- a' H- a /7 jî cosa;

SOLtJTIONS. 189

d'où

tt* 4^*^' — ('^ — ^' — •^')'

En égalant à zéro la dérivée du second membre, il vient

Cette équation fournit les valeurs

dont la dernière est à rejeter, parce qu'elle conduit à l'inégalité x'^a-hr. La première répond à un maximum, car deux minima ont lieu aux extrémités du diamètre qui passe par le point P. «