X-sina u

h désignant une constante.

Or

asinO

•^ sin(9-I-a)'

^sinasin'(d -4- a)

a^sin^O '

et par suite, en différentiant,

sin(ô -+- a)[3sin(0 -f- 2a) — sinO] =0.

Un minimum évident répond à la solution

sin(ô + a) = o,

l4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

et l'on a pour le maximum cherché

sinfô -h 2a) r=- sinO, formule facile à construire.

221* En prenant des axes rectangulaires et supposant les deux points situés sur Taxe des x, à la même distance a de l'origine, on a les équations

(x — a)' -h (X — ^y ='R-^ Km = w* = r* -f- ( j: — a)%

hm =z f' =zy^ -f- (jc a)%

dont la première exprime qu'un point m du plan appartient au cercle du rayon R ayant son centre au point (a, |3). La question conduit à poser

du -\- di^ =z o^

c'est-à-dire

jc?j-t-(x — a)dx y dy -ir (x -\- a) dx 1 : — O,

avec

(j?— a)d:r -f- (x — ^)djr = o.

On en déduit

ou bien

en fais,ant

SOLUTIONS. l4l

Or cette quantité k n'est autre que la distance de l'origine au point P où Taxe des x est rencontré par la droite qui joint le centre du cercle au point m, La dernière relation revient donc à celle-ci :

A/71 AP Bm "^ BP'

d'où il résulte que la droite mP est bissectrice de l'angle AmB, et que, par suite, le point cherché est le point de contact de la circonférence et d'une ellipse tangente au cercle, ayant pour foyers les deux points donnés.

Le problème se traite facilement par la Géométrie; il suffit d'exprimer que, en passant du point ttz à un point ml infiniment voisin sur la circonférence, la différence Am'B — AmB est infiniment petite d'ordre supérieur au premier.