Le volume demandé est égal au produit des trois

demi-axes principaux par ~- î et comme ces demi-axes sont

les valeurs aiaximum et minimum du rayon vecteur r mené par le centre, il suffira de chercher les maxima et minima de la quantité

r z=z \ja:^ -+- J^ -4- 2* ,

le point x^j^ z appartenant à rellipsoïde. On trouve alors, en désignant par X une indéterminée,'

/ \x-\- ax -^ Vz -4- h" y = o,

(i) I \y-^ay -h bz -h b'^x=:o,

\ \z -^a"z -^ by -\- b' x^=^o^ d'oij

ou

par suite

~ — a\x — b" y — V z-=Oy

L'élimination de x, y^ z entre ces équations conduit à annuler le déterminant

ce qui donne

t-bW^o.

Développant et ordonnant par rapport à r*, Téquation à laquelle on arrive fournit les carres de demi-axes principaux de la surface. Le produit de ces carrés n'est autre que le dernier terme changé de signe, c'est-à-dire le quotient de c' par le déterminant du système des équations ( i } dans lesquelles on suppose X égal à zéro. On conclut de là que le volume demandé a pour expression

^ [aa'a"— ah^ — a' b'^ — n'' b''^ -^ 7,bb' b"y 227. [Fig. il.) En désignant par a et 6 les coordonnées

Fig. II.

du centre de l'ellipse cherchée, l'équation de cette courbe peut s'écrire

Posons CA = p, CB = ^, et exprimons que la courbe passe par les points C, A, B; il en résulte les trois équations

(i) Aa' -t- aBaS -*- C6^ -t- I = o,

(2) k(p — olY — 2B(/? — a)6 -4- C6' -f- I = o,

(3) C(/7 — 6)» — 2B(<7 — 6)a + Aa2-f-i = o.

Fbenet. — Recueil, 10

l46 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Retranchant successivement Téquation (i) des équations

(a) et (3), il vient

(5) C(26 — ^) -r-2Ba = o.

Les relations (i), (4), (5) donnent enfin, pour les coefficients A, B, C,

^^ --(ag — g) g^ (2a— /;)(26 — ^) ^

ol(P^-{- qoL — pq) 2.ai^(p^ -{- qa — pq)