o = ar + 3(jy»)', e=7 + (3x»j
En faisant tourner les axes d'un angle de 45^ autour de l'origine, on reconnaît que la développée est aussi une astroïde (n*»232).
ay
a{J'^-^i) /If \
e = — i i-, a = a? — âr\<?* -i-i/;
d'où
^- ^ , -=log 7 9
et enfin
, 6±:(6«— SaM' 6' -h 4a'±6(6» — 8aM a = «log i-~^^- '- 3 ^ ^
iSa CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Celte courbe a été nommée logarithmique i^dx Huyghens, qui Ta étudiée [De causa gras^italis^ Opéra reliqua).
d^où
a =: fl log -I I -^ \ -T /
La cliaînette est la courbe que figure un fil homogène pesant, flexible et inextensible, et dont les extrémités sont fixes. A Torigine du Calcul diiîérentiel, les géomètres s'en sont beaucoup occupés, notamment Leibnitz, qui la construisit au moyen de la logarithmique (n** 270), et Jean Bernoulli, qui en donna le premier Téquation et les propriétés principales.
6r=— -9 a = — alog i ^—^'k
d'où
La chaînette est donc la développée de la tractoire
La tractoire ou tractrice est la courbe décrite par l'extrémité d'un fil inextensible et sans masse, situé dans un plan horizontal, et dont l'autre extrémité est tirée le long d'une ligne droite. Il faut ajouter que la vitesse acquise du
point mobile est incessamment détruite par la résistance du plan, ce qui revient à supposer le frottement infini. Leibnitz a démontré que la portion de la tangente à cette courbe comprise entre le point de contact et la droite directrice est constante, d'où le nom de courbe aiix tangentes égales donné à la tractoire. Huyghens en a fait Tobjet d'intéressants travaux^ Clairaut l'a beaucoup généralisée en prenant une ligne quelconque pour directrice.
273. En faisant usage des formules (c) et [d) de ce paragraphe (p. 178 et 179)5 et posant
on a
r p^=zmr^ 0=—» p^z=zmrx.
Il en résulte que la développée est une spirale logarithmique égale à la proposée ; elle se confond d'ailleurs avec le lieu des extrémités de la sous-normale polaire.
La spirale logarithmique peut être à elle-même sa développée. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que l'extrémité du rayon r^ aboutisse à la courbe. On doit donc avoir en même temps, puisque les deux rayons r et r, sont perpendiculaires ,
r =1 ae^ , r, := ad*- *
Comme on a de plus /• = a/'i, la condition cherchée revient à celle-ci ;
a=^e *" ou a" = e * •
Il faut et il suffit qu'on puisse déterminer un nombre en« tîer A" satisfaisant a cette équation.
Cette courbe se reproduit de plusieurs autres manières ;
l84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
sa développante, ses caustiques par réflexion et par réfraction en supposant le point lumineux au pôle, le lieu du pôle d'une spirale roulant sur une spirale fixe égale, sont des courbes égales à la proposée. Ces propriétés remarquables ont vivement frappé Jacques BernouUi. A ses yeux, la spirale logarithmique n'est rien moins que le type de la constance et le symbole de la résurrection. Voici le curieux passage où il donne carrière à son enthousiasme :
(( Cum autem ob proprietatem tam singularem tamque » admirabilem mire mihi placeat spira haec mirabilis, sic » ut ejus contemplatione satiari vix queam, cogîtavi illam » ad res varias symbolice repraesentandas non inconcinne » adhiberi posse. Quoniam enim semper similem et eam- » dem spiram gignit, utcumque volvatur, evolvatur, radiet, » hinc poterit esse vel sobolis parentibus per omnia similis )) emblema : simillima Jilia matri,,.. A ut, si mavis, quia « curva nostra mirabilis in ipsa mutatione semper sibî con- » stantissime manet similis et numéro eadem, poterit esse » vel fortitudinis et constantiae in adversitatibus, vel etiam » carnis nostrae, post varias alterationes et tandem ipsam » quoque mortem, ejusdem numéro resurrecturae symbo- )) lum } adeo quidem ut si Archimedem imitandi hodie nunc » consuetudo obtineret, libenter spiram hanc tumulo meo )) juberem incidi cum épigraphe : Eadem mutata resurgo. » [jicta eruditorum, ann. 1692, p. 212.)
Descartes s'est occupé le premier de la spirale logarithmique. Il la définit par la propriété que possède le rayon vecteur de faire un angle constant avec la tangente.
274. Soit tf Tangle du rayon vecteur avec la tangente en un point de la courbe 5 Téquation revient à celle-ci :
tangy = -^
SOLLTIOKS. l85
par suite,
(i) p =z r sinif =: (r^ — a*)S
et, en vertu de la formule (c), p. 178,
Rapprochant ces résultats des formules (d), p. 1 79, il vient
pour l'équation de la développée, laquelle est évidemment un cercle.
On reconnaît d'ailleurs, dans l'équation proposée, l'équation différentielle de la développante du cercle.
